[读书笔记/翻译]Multiple View Geometry in Computer Vision-1.1

1.1 介绍无所不在的投影几何

投影变换使得一个圆看起来不再像圆，它仅仅保留了很少的几何特征，像长度、角度、距离这些，都会由于投影而改变。但投影无法改变笔直(straightness)，这是映射最基本的要求。

欧几里得几何学用角度和形状来描述物体。有时它很烦——我们需要创造一个例外来推出一些基本的几何思想，比如交叉线。两条线总会在一个点相交，除了平行线。通常人们说，平行线会在无穷远处相交。但这只能看做事一个方便的假设，因为有些人认为无穷并不存在。通过在欧几里得平面额外增加无穷远处的平行线相交点，并称之为ideal points，我们可以克服这个问题。

这样的话，熟悉的欧几里得空间转换为一个新类型的几何对象，投影空间。既然我们熟悉欧几里得空间的那些概念，那么投影空间就没什么神秘的。它只是欧几里得空间的扩展，表示两条线总会相交。

注：其实理论就是，在投影空间中，没有平行线

坐标 对于欧几里得二维空间上的一个点(x,y)，将其坐标扩展为(x,y,1)，并且认为(2x,2y,2)甚至(kx,ky,k)都是相同的点。坐标可以用坐标三元组的等价类来表示，这就是点的齐次坐标(homogeneous coordinate)。而(x,y,0)就用来表示那些位于无穷远处的点，因为它们对应点的坐标为(x/0,y/0)。通过用齐次向量来表示点，就可以完成欧几里得空间到投影空间的映射。

齐次 在经典的欧几里得几何学中，所有的点都是一样的。我们认为所有的点都是原点，而转变的是坐标系。因此，空间的平移和旋转被认为是欧几里得转换。

而仿射转换(affine transformation)是说空间移动、旋转、线性的拉伸。关于这一点，WIKI上有更好的解释：http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation

欧几里得转换和仿射转换都保证无穷远的点始终是无穷远的。

通过类比我们可以定义投影空间的投影转换，欧几里得空间的线性转换是用点的坐标与矩阵相乘来表示的，投影空间的投影转换可以看做(N+1)维向量表示的齐次坐标点的映射，即成一一个非奇异的矩阵。如此一个无穷远的点并不会被永远保留，而是可以被映射到任意一个点。

在计算机视觉中，投影空间通常被扩展成为3D投影空间来表现真实的3D世界。

注：这里对(x,y,z,w)坐标中的w做了一个解释，在D3D中，w=0表示向量，w=1表示坐标。而这里则用一种更科学的方法来定义了这一区别。其实原理都是一样，所谓向量，不就是从原点指向了无穷远处的一个点么？

仿射几何学 书上的定义没有看懂，还是看的WIKI解释http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_geometry以及百度百科。仿射几何研究的是那些在仿射变换中保持不变的几何属性。仿射几何中没有角度的定义，不平行的线不可以比较长度。仅当AB//CD，并且AC//BD，才认为|AB|=|CD|。书上说，仿射几何就是一个投影平面以及一根指定的线的几何，而任何将指定的线从一个空间映射到另一空间的投影转换都被看做是仿射变换。

欧式几何学 首先考虑二维几何学，在仿射几何中没有圆的概念，因为平面中的拉伸尽管能保留无限的线，却会将圆变成椭圆。因此，仿射几何并不能区分圆和椭圆。

但欧式几何可以区分，椭圆通常是由二次方程来表示的。因此两个椭圆最多会在四个点产生交叉。但很明显两个不同的圆做多会由两个交叉点。为什么圆如此特殊呢？

实际上对于解方程来说，对于任何二阶曲线的交叉，我们都会得到二次方程的四个解。只是圆的解有两个复平面点，并不在考虑范围。

对于齐次坐标表示(x,y,w)，可以得到圆的方程：





圆心坐标

 ，可以证明

 这2个点经过所有的圆。因此，它们存在于任意两个圆的交叉中。由于它们的w坐标为0，因此认为它们也是无穷远的点，我们称之为虚圆点(circular
point)。

接下来，定义任意经过虚圆点的二次曲线为圆，尽管在标准的欧式坐标系统中，虚圆点的坐标为

，在指定投影平面的欧式结构时，我们可以指定任意的无限的线和线上的复数点作为虚圆点。

3D欧式几何 两个球的交叉形成一个圆，而不是像代数中讲的，一个一般的四阶曲线，但一般的椭球体会形成。考虑齐次坐标(X,Y,Z,T)，所有的球都会与无穷远的平面交叉形成一个曲线，方程为

 这个曲线仅仅包含复平面点，我们称之为绝对二次曲线(absolule
conic)，这个概念很重要。

原文 http://www.cnblogs.com/luluathena/