平面的投影变换(4)——利用虚圆点进行相似性校正

1. 虚圆点和对偶二次曲线

定义（虚圆点, circular point）：无穷线 l∞ 上有一对共轭复数的理想点在相似性变换下是固定不动的，这两个点的归一化坐标是

I = (1,i, 0)T,
 J =(1, -i, 0)T.
这两个点是一个圆与无穷线 l∞ 的两个交点，叫虚圆点，或绝对点。

定理（虚圆点的相似性变换）：虚圆点 I,J
在投影变换 H 下固定不动，当且仅当 H 是相似性变换。

找到虚圆点，就可以恢复相似性属性（角度，长度比例）。

定义（虚圆点的对偶二次曲线, dual conic）：C*∞ = IJT
+  JIT

它的归一化坐标是：



和虚圆点一样，C*∞ 在相似性变换下也是固定不动的，

定理（C*∞的相似性变换）：对偶二次曲线C*∞在投影变换H
下固定不动，当且仅当 H 是相似性变换。



定理：无穷线 l∞ 是 C*∞
的零空间。

证明：虚圆点位于无穷线上，因此有 IT l∞ = JT l∞ =
0，从而



2. 投影变换中的夹角和距离比例

在欧式几何中，设两条直线
l = (l1, l2, l3)T和m =(m1, m2, m3)T，其法线分别为 (l1, l2)T和  (m1, m2)T，则它们的夹角等于法线的内积



在投影变换中，夹角定义为



其中C*∞是循环点的对偶二次曲线。这个定义具有对投影变换的不变性，说明在投影平面中，只要确定了C*∞的投影，则可直接求出夹角。

定理：如果 lTC*∞m
= 0，则 l 和 m 正交。

三角形的边长比例为d(b,c):d(a,c) = sin α:
sin β，因此，既然夹角可求，那么只要确定了C*∞的投影，距离比例也可直接从投影平面中求出。



3. 相似性校正

与仿射校正需要求得无穷线 l∞ 的投影一样，相似性校正需要求得虚圆点 I, J 的投影。假设在投影平面中虚圆点已经被找到，则通过投影变换
H 将它变换到无穷线 l∞ 上的归一化位置，即(1, ±i,
0)T，则变换得到的平面是世界平面的相似性变换。

同样，如果在投影平面中找到C*∞的投影 C*'∞ =
H C*∞ HT，则也可以用来进行相似性校正。方法是：对 C*'∞ 进行奇异值分解，得到



则用于相似性校正的投影变换 H = U。

4. 利用正交线对求C*'∞

利用投影变换的级联形式：



从而dual conic投影C*'∞ 具有如下形式：



可见投影分量 v 和仿射分量 K 可以从投影C*'∞中求出，而相似性变换的信息在投影C*'∞中丢失了。可见C*'∞是个对称阵，可以写成如下形式：



下面讲述在投影变换平面上，如何利用直角的投影来求C*'∞：

 (1)
在世界坐标系下，两条正交直线l 和m 的夹角为lT C*∞ m =
0。

 (2)在投影平面中，这两条直线的投影 l' 和m'
的夹角仍然为0，即 l'T C*'∞ m'
= 0，可以写成如下形式



 (3) 令向量 c = (a,b,c,d,
e, f)T，则上式可以写成如下形式，构成一个约束条件

(l'1m'1,
l'1m'2 + l'2m'1, l'1m'3 + l'3m'1, l'2m'2, l'2m'3 + l'3m'2, l'3m'3)c
= 0
 (4) 在投影平面中找到5个正交对，则形成5个约束条件，构成1个5x6系数矩阵，而向量c 是这个矩阵的零空间，从而向量c 可依比例因子求出，进而得到C*'∞。

上述过程也可以先对投影图像进行仿射校正，在C*'∞中去除投影分量v
，然后在校正后的仿射变换平面中求出C*'∞，从而简化计算。这是一种分层（stratification）的方法。