[BZOJ1008][HNOI2008]越狱

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Description

监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

输入两个整数M,N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

2 3

Sample Output

6

HINT

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

思路:

我们弄一个抽象的题意：

有n个盘子，m种荔枝。

每个盘子放一个荔枝，相邻的盘子荔枝种类一样，求方案数。

1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

答案模100003

第一个盘子能放m种荔枝，那么第二个盘子呢？？？

为了不与第一个盘子的荔枝重复，第二个盘子只能放m-1种荔枝。

第三个盘子呢？

为了不与第二个盘子的荔枝重复，第三个盘子也是放m-1种荔枝？

求可能搭配出的方案数。

这不就是小学奥数上的乘法原理嘛！！！

于是我们得出

num=m * (m-1)^(n-1)

这是合法的数量。

总的数量?

all=m^n （这个一眼就看出来了）

ans=all-num

嗯。那直接乘？但很尴尬的是，这个东东太大了1<=M<=10^8,1<=N<=10^12，明显过不了。

在求 a^n 前

我们可以先求出 a^(n/2)

然后 a^(n/2) * a^(n/2) => a^n

这样一直分割下去，我们能得到一个

O(log(n))的算法，名叫快速幂。

代码如下

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL q_mod(LL a,LL b,LL c)
{
LL ans=1%c;a%=c;
while(b)
{
if(b&1)ans=ans*a%100003;
a=a*a%100003;b>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
LL m,n;
scanf("%lld%lld",&m,&n);
LL s=((q_mod(m,n,LL(100003))-m*q_mod(m-1,n-1,LL(100003))%LL(100003)+LL(100003))%LL(100003));
printf("%lld\n",s);
return 0;
}