比较排序之堆排序和快速排序

堆排序

堆是一个数组，它可以被看成一个近似的完全二叉树，树上的每一个结点对应数组中的一个元素。除了最底层外，改树是完全充满的，而且是从左往右填充的。
堆可以分成两种形式：最大堆和最小堆。
在堆排序算法中，我们使用的是最大堆。最小堆一般用于构建优先队列。
我们知道，在最大堆中，最大堆性质是指除了根以外的所有结点i都要满足：
A[parent(i)]>=A[i]
也就是说，某个结点的值至多与其父节点一样大，因此，堆中最大的元素存放在根结点中。
所有我们需要一个用于维护最大堆性质的函数。它的输入是一个数组A和一个下标i，我们维护最大堆性质函数的作用就是让以下标i为根结点的堆遵循最大堆性质。

void max_heap(int *a,int i,int n)      //n=a.length
{
int j=i*2+1;          //i's child node
int temp=a[i];
while(j<n)
{
if(a[j]<a[j+1]&&j+1<n)
j++;
if(a[i]>=a[j])
break;
a[i]=a[j];
i=j;
j=i*2+1;
}
a[i]=temp;
}

现在我们就可以将我们要排序的数据建成一个最大堆数组。

void build_max_heap(int *a,int n)
{
for(int i=n/2-1;i>=0;i--)
max_heap(a,i,n);
}

现在我们拥有了建立最大堆的能力，那么我们就可以用它来排序，因为最大的元素就在根结点处，所以我们将根结点放入数组的最后，然后将剩下的元素再建成一个最大堆，再将根结点放入数组的最后，依次循环，我们就排好序了。

void heap_sort(int *a,int n)
{
for(int i=n-1;i>=0;i--)
{
build_max_heap(a,i+1);
swap(a[0],a[i]);
}
}

我们可以看出堆排序的时间复杂度跟归并排序相同是O(nlgn),但是它的空间复杂度与插入排序相同都是常数。

快速排序

快速排序也使用了分治思想，它的原理是找一个主元，然后将数组里的每一个元素与主元相比较，比主元小的放在主元左边，比主元大的放在主元右边，然后以主元为界，对左右两个子数组进行相同的操作，依次下去，就可以排好序了。
下面我们以数组最后一个元素为主元：

int partition(int *a,int i,int n)
{
int key=a
;
int m=i-1;
for(int j=i;j<n;j++)
{
if(a[j]<=key)
{
m+=1;
swap(a[m],a[j]);
}
}
swap(a[m+1],a
);
return m+1;
}

void quick_sort(int *a,int i,int n)
{
int q;
if(i<n)
{
q=partition(a,i,n);
quick_sort(a,i,q-1);
quick_sort(a,q+1,n);
}
}

我们可以看到快排的最坏情况时间复杂度是O（n^2）,而在元素互异的情况下，期望时间复杂度是O(nlgn)。