陶哲轩实分析 6.4 节习题试解

陶哲轩实分析 6.4 节习题试解

6.4.1 设 是收敛到实数 的序列。那么 是 的极限点。并且是仅有的极限点。

先证明 是 的极限点。

因为 收敛到 。所以对于任意的 都有 是终极 接近 的，所以也是终极 附着于 的 。所以 是极限点。

再证明 是唯一的极限点。

假设 还有另外一个极限点 。设 。

由于 收敛到 。所以存在一个 ，当 时有，

这与 是 的极限点矛盾。所以 是 仅有的极限点。

6.4.2 设 是一个实数列， 是实数，并且 是整数。证明： （1） 是 的极限点，当且仅当 是 的极限点。 （2） 是 的上极限，当且仅当 是 的上极限。

（1）如果 是 的极限点，那么对于任意的 和任意的 ，我们都能找到一个 满足 。 所以对任意的 ，我们都能找到一个 满足 。 所以 是 的极限点。 如果 是 的极限点，那么对于任意的 和任意的 ，我们都能找到一个 满足 。那么对于任意 ，我们取 ，自然也可以找到一个 满足 。这个 也满足 。所以对于任意 ，我们都能找到一个 满足 。所以 是 的极限点。

所以 是 的极限点 和 是 的极限点是等价的。

(2) 的上极限是 ，的上极限是

是单调减数列。所以。

6.4.3 证明引理 6.4.12

（c）

是单调增数列。

是单调减数列。

所以 对任意的 N 成立，所以 。

所以：

（d）如果 是 的极限点，那么 .

反证法：如果 那么设

那么有极限点的定义可知，对于无论多大的 都有 满足 ，也就是说 。

可是由 (a) 可知，存在一个 当 时，所有的

产生矛盾，所以

同样方法，可以证明

所以 .

（e）如果 是有限的，那么它是 的极限点。

由 （a）（b） 可知：对任意的 以及每个 都存在着一个 满足 。所以 是极限点。

（f）设 是实数，如果 收敛到 ，那么必有 。反之也成立。

反证法：假设 ,那么必有 ，设 。

那么存在一个 对任意的 都有

而 (b) 却表明我们可以找到一个 满足 产生矛盾，所以

同样方法，可以证明

如果 那么由 (a) 可知对于任意的 都存在一个 使得对于一切的 都有 和 。所以 所以 收敛到 。

6.4.4 证明引理 6.4.13

对一起 都有 。

（a）证明

反证法：设

假设 设

那么存在至少一个 满足

所以

这与 矛盾。所以

（b）

与 (a) 类似的方法可以证明。

（c）

因为 ，所以有

所以

（d）

因为

所以

6.4.5 证明 6.4.14

设 ， ， 是实数列。

若 和 都收敛到 则 也收敛到 。

由上一题结论可知 ,

因为 所以

因为 所以

所以 也收敛到 。

6.4.6

则：

6.4.7 设 是实数列。那么极限 存在并等于零当且仅当极限 存在并等于零。

先证 可推出

因为 ，对任意的 都存在 当 时有 ，所以

再证 可推出

因为

所以 可推出

6.4.8

当 有上界时，命题 6.4.12 已经证明了 大于其他的极限点。当 没有上界时，，自然也大于其他极限点。

当 有下界时，命题 6.4.12 已经证明了 小于其他的极限点。当 没有下界时，，自然也小于其他极限点。

6.4.9

6.4.10

对任意的 和任意的 都能找到一个 满足

又因为 是 的极限点。所以 能找到一个 满足

所以

所以 是 的极限点