JZOJ4780 【GDOI2017模拟9.14】三角形 (OICamp 2016 Day 5 T2） 可证明复杂度的有技巧暴力

题目大意

在二维平面内有N个不同的点，第i个点的坐标是(xi,yi)，定义平面内点集P的酷炫程度为点集中的点组成的直角边平行与坐标轴的三角形的数量（三角形一样，位置不一样算不同）。现在允许你加多一个点（不能与点集P中的点重复），问新的点集的酷炫度最大是多少。

N≤5∗105

1≤xi,yi≤N

解题思路

首先我们要知道在一个位置放上一个点的贡献是多少。我们设NumXi表示第i行有多少个点，SumXi=∑Nj=1[（i,j）]∗(NumYj−1)([(i,j)]表示位置(i,j)是否有点），NumY,SumY的定义类似，只不过是把行变成列。那么显然Ans=max(NumXi∗NumYj+SumXi+SumYj)。

我们发现NumX中不同的数最多只有N−−√个因为∑N√i=1i是O(N)级别的，NumY同理。所以我们可以直接按照NumX和NumY的值对行和列分组。之后枚举NumXi和NumYj在找出最大的SumXi+SumYj。当然我们可以实现把Num值相等的按Sum值从大到小排序，但是这里面有些点是原图中已经有的，那么我们直接log的判掉，跳过这些点然后取最大值。由于每个点只会被判掉一次，所以算法的复杂度就是O（NlogN）的。

程序

//YxuanwKeith
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <map>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int MAXN = 5e5 + 5;

struct Coor {
int x, y;
Coor(int a, int b) {x = a, y = b;}
Coor() {}
};

bool operator < (Coor A, Coor B) {return A.x < B.x || A.x == B.x && A.y < B.y;}

int N, tot, GetX[MAXN], GetY[MAXN], NumX[MAXN], NumY[MAXN], SumX[MAXN], SumY[MAXN];
int LastX[MAXN], LastY[MAXN], Go[MAXN * 2], Next[MAXN * 2];
map<Coor,int> Map;
Coor P[MAXN];

void Get(int &x) {
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') ch = getchar();
x = 0;
while (ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
}

void Link(int u, int v, int *Last) {
Next[++ tot] = Last[u], Last[u] = tot, Go[tot] = v;
}

inline void Sort(int *S, int *Num, int *Get, int *Last) {
static int tax[MAXN], Ord[MAXN];
memset(tax, 0, sizeof tax);
for (int i = 1; i <= N; i ++) tax[S[i]] ++;
for (int i = 1; i <= N; i ++) tax[i] += tax[i - 1];
for (int i = 1; i <= N; i ++) Ord[tax[S[i]] --] = i;
for (int i = 1; i <= N; i ++) Link(Num[Ord[i]], Ord[i], Last);
for (int i = 0; i <= N; i ++) if (Last[i]) Get[++ Get[0]] = i;
}

void Prepare() {
for (int i = 1; i <= N; i ++) {
SumX[P[i].x] += NumY[P[i].y] - 1;
SumY[P[i].y] += NumX[P[i].x] - 1;
Map[P[i]] = 1;
}
Sort(SumX, NumX, GetX, LastX), Sort(SumY, NumY, GetY, LastY);
}

void Solve() {
LL Ans = 0;
for (int i = 1; i <= GetX[0]; i ++)
for (int j = 1; j <= GetY[0]; j ++) {
int x = GetX[i], y = GetY[j];
LL Suf = 1ll * x * y, Max = -1;
for (int px = LastX[x]; px; px = Next[px]) {
for (int py = LastY[y]; py; py = Next[py]) {
int xx = Go[px], yy = Go[py];
if (SumY[yy] <= Max) break;
if (!Map[Coor(xx, yy)]) {
Ans = max(Ans, Suf + SumX[xx] + SumY[yy]);
Max = SumY[yy];
break;
}
}
}
}

for (int i = 1; i <= N; i ++ ) Ans += 1ll * (NumX[P[i].x] - 1) * (NumY[P[i].y] - 1);
printf("%lld", Ans);
}

int main() {、
scanf("%d", &N);
for (int i = 1; i <= N; i ++) {
Get(P[i].x), Get(P[i].y);
NumX[P[i].x] ++, NumY[P[i].y] ++;
}
Prepare();
Solve();
}