【CODEVS 1183】泥泞的道路 SPFA+二分

传送门

题目描述 Description

CS有n个小区，并且任意小区之间都有两条单向道路（a到b，b到a）相连。因为最近下了很多暴雨，很多道路都被淹了，不同的道路泥泞程度不同。小A经过对近期天气和地形的科学分析，绘出了每条道路能顺利通过的时间以及这条路的长度。

现在小A在小区1，他希望能够很顺利地到达目的地小区n，请帮助小明找出一条从小区1出发到达小区n的所有路线中（总路程/总时间）最大的路线。请你告诉他这个值。

输入描述 Input Description

第一行包含一个整数n，为小区数。

接下来n*n的矩阵P，其中第i行第j个数表示从小区i到小区j的道路长度为Pi,j。第i行第i个数的元素为0，其余保证为正整数。

接下来n*n的矩阵T，第i行第j个数表示从小区i到小区j需要的时间Ti,j。第i行第i个数的元素为0，其余保证为正整数。

输出描述 Output Description

写入一个实数S，为小区1到达n的最大答案，S精确到小数点后3位。

样例输入 Sample Input

3

0 8 7

9 0 10

5 7 0

0 7 6

6 0 6

6 2 0

样例输出 Sample Output

2.125

数据范围及提示 Data Size & Hint

【数据说明】

30%的数据，n<=20

100%的数据，n<=100，p,t<=10000

题解

对于这个题目我们假设有一个可行的答案为ans，那么对应的可行的一组解的表达式为

(P1+P2+P3+……+Px)/（T1+T2+T3+……Tx） = ans
=》
P1+P2+P3+……+Px = ans*(T1+T2+T3+……+Tx)
=》
P1-T1*ans + P2-T2*ans ……Px - Tx*ans = 0

那么易证对于以上式子的最大值大于0的时候这个ans为某一个解，再经过分析很容易发现我们这个表达式的最大值具有单调性，好啦，二分，，并且用SPFA计算1-N的最大值，没有太多的顾虑。

代码

/*
作者:WZH
题目:p1183 泥泞的道路
*/

#include <cstdio>
#include <queue>

const int MAXN = 105,INF = 1e5;

using namespace std;

int N,P[MAXN][MAXN],T[MAXN][MAXN],S[MAXN];
bool inq[MAXN];
double L,R = 1e5,M,D[MAXN],Map[MAXN][MAXN];

queue<int>q;

inline void init()
{
scanf("%d",&N);

for(int i = 1;i <= N;i++)
for(int j = 1;j <= N;j++)
scanf("%d",&P[i][j]);

for(int i = 1;i <= N;i++)
for(int j = 1;j <= N;j++)
scanf("%d",&T[i][j]);
}

inline bool spfa(){

for(int i = 1;i <= N;i++) D[i] = -1e8;
for(int i = 1;i <= N;i++) S[i] = 0;

q.push(1);inq[1] = true;D[1] = 0;

while(!q.empty()){
int u = q.front();q.pop();inq[u] = false;
for(int v = 1;v <= N;v++){
if(D[v] < D[u] + Map[u][v]&& P[u][v]){
D[v] = D[u] + Map[u][v];
S[v] = S[u] + 1;
if(S[v] >= N) return false;
if(!inq[v]){q.push(v);inq[v] = true;}
}
}
}

if(D
> 0) return false;
return true;
}

int main()
{
init();
while(R - L > 0.00001)
{

M = (R + L) / 2;

for(int i = 1;i <= N;i++)
for(int j = 1;j <= N;j++)
Map[i][j] = P[i][j] - T[i][j] * M;

if(!spfa()) L = M;
else R = M;

}
printf("%.3f",R);
return 0;
}