动态规划之01背包问题（最易理解的讲解）

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01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包

以下是java的代码view
plain copy

import java.util.Arrays;

public class Package01 {
public static void main(String[] args) {
int wholeWeight = 10;
PackageItem[] packageItems = init();
int[][] result = get01PackageAnswer(packageItems, wholeWeight);
for (int i = 0; i < result.length; i++) {
System.out.println(Arrays.toString(result[i]));
}
}

private static int[][] get01PackageAnswer(PackageItem[] packageItems, int wholeWeight) {
int[][] matrix = new int[packageItems.length][wholeWeight + 1];//二位数组
for (int i = 0; i < packageItems.length; i++) {//行
PackageItem pi = packageItems[i];//要放进包的item
int piWeight = pi.weight;
int piValue = pi.value;

for (int j = 1; j <= wholeWeight; j++) {//列
int bagSize = j;//当前背包的能承受的重量
if (piWeight > bagSize) {//装不了
//matrix[i][j] = matrix[i][j - 1];

if (i ==0) {//如果是第0行
matrix[i][j] = 0;
} else {
matrix[i][j] = matrix[i - 1][j];
}
} else {
int weightDiff = bagSize - piWeight;//装入当前item，余下的重量
if (i ==0) {//如果是第0行
matrix[i][j] = piValue;
} else {
int valueInBag = matrix[i - 1][weightDiff] + piValue;//f[i-1,j-Wi]+Pi(j >= Wi)
matrix[i][j] = valueInBag > matrix[i - 1][j] ? valueInBag : matrix[i - 1][j];
}
}
}
}
return matrix;
}

static PackageItem[] init() {
String[] nameArr = {"a","b","c","d","e"};
int[] weightArr = {2,2,6,5,4};
int[] valueArr = {6,3,5,4,6};
PackageItem[] packageItems = new PackageItem[nameArr.length];
for (int i = 0; i < nameArr.length; i++) {
PackageItem pi = new PackageItem(nameArr[i], weightArr[i], valueArr[i]);
packageItems[i] = pi;
}
return packageItems;
}
}
class PackageItem
{
public String name;
public int weight;
public int value;
public PackageItem(String name, int weight, int value)
{
this.name = name;
this.weight = weight;
this.value = value;
}
}