MarkDown Letex编码 之 随机过程及应用-特征函数

**随机过程及应用-特征函数（Stocbastic Processes With Its Applications ）：**

||   **1.通过随机变量来描述随机现象，由随机变量的分布函数来了解它的统计规律，引进随机过程理论对时间改变的随机现象进行研究，问题将显得十分复杂；
||   **2.为简化计算量，将傅里叶变换引入并用于分布函数（概率分布、分布律），就产生了* 特征函数 *，经概率论乃至随机过程的理论研究提升至前所未有的新局面！

* 1.1  *一维特征函数定义及实例*
设$X,Y$是实随机变量，定义复随机变量$Z=X+Y$,其中$j=\sqrt{-1} $,定义其数学期望为$$E(Z)=E(X) + jE(Y), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$特别的，根据欧拉公式，有$$E(e^{juX})=E(\cos uX) + jE(\sin uX) \ \ \ (1)$$       $$=\int^{+\infty}_{-\infty}\cos uxdF(x) + j\sin uxdF(x) \ \ \ (1)$$          $$=\int^{+\infty}_{-\infty} e^{jux}dF(x) $$

* * 此式即关于分布函数F(x)的 *傅里叶-斯蒂阶* 变换
* * 因对任意的$u\in R,\cos ux $和$\sin ux$ 关于$ x $  来说，均为有界连续函数，故对任意随机变量$X$,$E(e^{juX})$总存在，而且是关于实变量$u$的函数。

* * 下面是二项分布$X - B(n,p)$ $$P \{ X=k \}=C_n^k(1-p)^{n-k},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \   k=0,1,...,n$$
特征函数为$$\varphi(u)=E(e^{juX})=\sum_k e^{jux_k}p_k$$ $$=\sum_k e^{juk}C_n^kp^k(1-p)^{n-k}
$$   $$=\sum_k C_n^k{(pe^{ju})}^k(1-p)^{n-k},\ \ \ \ \ \ \
u\in R.$$
到这一步相信很多人已经**看出来**或者**看不出来**了，应用  ****二项式展开定理****  上式可化为$$(q+pe^{ju})^n$$
最后整理一下：
$$\varphi (u)=(q+pe^{ju})^n, \ \ \ \ \ u \in R $$
$ \ \ \ \ $ **上式即为二项分布的特征函数最终化简式 $ \  \ $ 【PS:其他几种常用分布随机变量的特征函数均可照此进行】**