浅谈基于随机性算法的素数判定

引：考虑这样的一个问题

判断一个long long范围内的数是否是素数。

引理1-1:

ap≡a(modp)|(a,p)=1

其实这就是熟悉的Fermat小定理了~~

引理1-2：

对于

a2≡1(modn)|n为素数

的解仅有 a = 1 或 a = n - 1

显然原式 = (a mod n) * (a mod n)

所以当且仅当 a mod n = 1 或 a mod n = -1 时有解， 那么显然~~~

下面介绍一种基于随机算法的Miller-Robin算法

1.将n - 1分解成 2 ^ q * m 的形式

2.若n为大于2的素数，则必定存在 a < n 使得 a ^ (n-1) mod n = 1

3.先随机取一个a，计算 a ^ m ，然后再在 a ^ m 的基础上不停地平方，并使得 a 的指数小于等于 n - 1， 若a ^ (n-1) mod n = 1， 则在这个过程中必然会算出某个值同余 n 为 1，我们就找到了答案。

4.注意进行多重判断（多选几个a）。

下面是代码（poj 1811）：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL INF = 1LL << 60;

#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

LL gcd(LL a, LL b) {
if(a > b) swap(a, b);
return a == 0 ? b : gcd(b % a, a);
}

LL Mul(LL n, LL m, LL p) {
LL ans = 0;
for(LL i = 1; i <= m; i <<= 1LL, n = (n + n) % p)
if(i & m) ans = (ans + n) % p;
return ans;
}
LL Pow(LL n, LL m, LL p) {
LL ans = 1;

n %= p;
while(m > 0LL) {
if(m & 1LL) ans = Mul(ans, n, p);
n = Mul(n, n, p); m >>= 1LL;
}
return ans;
}

bool isprime(LL n, LL t) {

if(n == 2 || n == 3) return true;
if(n < 2 || (n & 1LL) == 0) return false;

LL m = n - 1, q = 0;
while((m & 1LL) == 0) {
q++;
m &g
aefa
t;>= 1LL;
}

for(LL i = 0; i < t; i++) {
LL a = rand() % (n - 1) + 1;
LL x = Pow(a, m, n), y;

for(LL j = 0; j < q; j++) {
y = Mul(x, x, n);
if(y == 1 && x != 1 && x != n - 1) return false;
x = y;
}
if(x != 1) return false;
}
return true;
}

LL Min;
void Pollcard_Rho(LL n) {

//debug("%lld\n", n);
if(isprime(n, 40)) { Min = min(Min, n); return; }

while(1) {
LL x = rand() % (n - 1) + 1;
LL c = rand() % (n - 1) + 1;

for(LL y = x, i = 2, j = 2; ; i++) {
x = (Mul(x, x, n) + c) % n;

LL z = (y - x) % n; if(z < 0) z = -z;
LL d = gcd(z, n);

if(d > 1 && d < n) { Pollcard_Rho(d), Pollcard_Rho(n / d); return; }

if(x == y) break;
if(i == j) y = x, j <<= 1;
}
}
}

LL n, T;

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("data.txt", "r", stdin);
freopen("ans.txt", "w", stdout);
#endif

srand(67);

scanf("%lld", &T);
while(T--) {
scanf("%lld", &n);

if(isprime(n, 40)) puts("Prime");
else {
Min = INF;
Pollcard_Rho(n);
printf("%lld\n", Min);
}
}

return 0;
}

题中还涉及到了另一个基于随机性的因数分解（其实就是一个瞎逼乱搞神奇算法， 时间复杂度 O（玄学））。