TOJ 3313.Calculation（欧拉函数、费马定理）

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欧拉函数phi(m)：当m>1是，phi(m)表示比m小且与m互质的正整数个数

1、费马定理：a的p-1次方mod p余1。（其中p是素数，a是不能被p整除的正整数。

2、欧拉定理

    2.1 欧拉函数（RSA的证明用到）

          定义：欧拉函数phi(m)：当m>1是，phi(m)表示比m小且与m互质的正整数个数

               如：phi(24)=8    （1，5，7，11，13，17，19，23）

          性质：（1）当m为素数时，phi(m)=m-1

                    （2）当m=pq，且p和q是互异的素数，

                         则有：phi(m)=phi(p)*phi(p)=(p-1)(q-1) （这很好用）

                    （3）m＝p^e，且p为素数，e为正整数，则

                         phi(m)=p^e-p^(e-1)=(p^(e-1))*(p-1) 

          定理：若m=p1^e1*p2^e2....pt^et则：

                phi(m)=m(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pt) （pi是素数）

     2.2 欧拉定理

            a^phi(n)=1 mod n

          注：[1] n=p时候，有a^(p-1)=1 mod p，为费马定理

                [2] a^(phi(n)+1)=a mod n

                [3] 若n=pq，p与q为相异素数，取大于0的m,n互质数，有

                    m^(phi(n)+1)=m mod n; m^((p-1)(q-1)+1)=m mod n

欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).

   

     因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:

                     k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)

    可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))

               =k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);

               =k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)

     ps：在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)
      若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;

若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);

第一次写欧拉函数的题，琢磨的半天，最后还是只能按照最开始的想法写......

      欧拉函数PHI(n)表示的是比n小，并且与n互质的正整数的个数(包括1)。比如：

      PHI(1) = 1; PHI(2) = 1; PHI(3) = 2; PHI(4) = 2; ... PHI(9) = 6; ...

要计算一个正整数n的欧拉函数的方法如下：

1. 将n表示成素数的乘积: n = p1 ^ k1 * p2 ^ k2 * ... * pn ^ kn（这里p1, p2, ..., pn是素数）

2. PHI(n) = (p1 ^ k1 - p1 ^ (k1 - 1)) * (p2 ^ k2 - p2 ^ (k2 - 1)) * ... * (pn ^ kn - pn ^ (kn - 1))

              = Mult { pi ^ ki - pi ^ (ki -1) }

证明过程如下：

    1. 容易想到：当n为素数时，PHI(n) = n - 1。因为每个比n小的正整数都和n互素。当n为素数p的k次方时，PHI(n) = p ^ k - p ^ (k - 1)。因为在1到n之间的正整数只有p的倍数和n不互素，这样的数有(p ^ k / p)个（为什么？）。

    2. 如果m和n互素，即GCD(m, n) = 1，那么PHI(m * n) = PHI(m) * PHI(n)。用中国剩余定理可以证明，证明的思路是建立这样一种一一对应的关系(a, b) <-> x，其中正整数a小于m并且gcd(a, m) = 1，正整数b小于n并且gcd(b, n) = 1，正整数x小于m*n并且gcd(m*n, x) = 1。证明过程如下：

    1)根据中国剩余定理，如果m和n互素，那么关于未知量x的方程组x % m = a, x % n = b(0 <= a < m, 0 <= b < n)，当0 <= x < m * n时存在并且仅存在一个解。容易证明，如果两个这样的方程组有相同的m, n但是a, b不同，那么他们的解x一定不同。

    2)首先用反正法证明：gcd(m, a) = 1且gcd(n, b) = 1是gcd(m*n, x) = 1的必要条件：假设gcd(a, m) = k > 1，由此可得：a = a' * k; m = m' * k => x = k' * m + a = k' * k * m' + k * a' = k * (k' * m' + a'); 所以gcd(x, m) = k > 1。同理可证，如果gcd(b, n) > 1， 那么gcd(x, n) > 1。所以x和m * n互素的必要条件是a和m互诉且b和n互素。

    3)接下来我们证明充分性：由x % m = a 可以得到x = k * m + a；由欧几里德算法求最大公约数的过程（就不证明了，呵呵，还得想）可以知道gcd(x,
m) = gcd(m, a) = 1；同理可得，如果gcd(n, b) = 1那么gcd(x, n) = 1。接下来很容易得到：gcd(m*n, x) = 1。从而证明了充分性。

    4)上面三步的结论表明，数对(a, b)是可以和x建立起一一对应的关系的，所以有多少个不同的(a, b)，就有多少个不同的x。

    3.将n分解成素数乘积后，显然对于任意的i, j(i != j)都满足 pi ^ ki和pj ^ kj是互素的，于是可以的到上面的公式。

跟据上面的公式，可以得到关于欧拉函数的递推关系：
假设素数p能整除n，那么

如果p还能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * p;

如果p不能整除n / p, PHI(n) = PHI(n / p) * (p - 1);

3313.   Calculation
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Assume that f(0) = 1 and 0^0=1. f(n) = (n%10)^f(n/10) for all n bigger than zero. Please calculate f(n)%m. (2 ≤ n , m ≤ 10^9, x^y means the y th power of x).

Input

The first line contains a single positive integer T. which is the number of test cases. T lines follows.Each case consists of one line containing two positive integers n and m.

Output

One integer indicating the value of f(n)%m.

Sample Input

2
24 20
25 20

Sample Output

16
5

Source:  Multi-School
Training Contest - TOJ Site #3 (Private)[Hosted By WHU]
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题目大意 f(0) = 1 and 0^0=1. f(n) = (n%10)^f(n/10)
计算 f(n)%m. (2 ≤ n , m ≤ 10^9, x^y means the y th power of x).

1、首先证明引理 对于任意的 a,a^phi(m)=a^(2*phi(m))=……=a^(k*phi(m)) k>=1

      我们可以只证明 a^phi(m)(a^phi(m)-1)=0(mod m)

       假设m=p1^k1……pi^ki

       我们要等价证明 a^phi(m)(a^phi(m)-1)=0(mod pj^kj)

      1.1 如果a与pj互质，a^phi(m)=1(mod pj^kj) =>a^phi(m)(a^phi(m)-1)=0(mod pj^kj)

      1.2如果a 与pj不互质 pj是a的约数

       phi(m)>=pj^(kj-1)(pj-1) >=(1+(pj-1))^(kj-1)>=(1+1)^(kj-1)>= (二项式展开)1+kj-1+……>=kj

       (放缩时用到 pj>=2，这里也可以求导来证)

       所以 a^phi(m)=0(mod pj^kj) => a^phi(m)(a^phi(m)-1)=0(mod pj^kj)

       综上：a^phi(m)(a^phi(m)-1)=0(mod m) <=> a^phi(m)=a^(2*phi(m))=……=a^(k*phi(m)) k>=1

2、有了如上的引理，我们就可以进行适当简化处理

      注意到1=a^phi(m) (mod m)不一定成立

      所以注意到 b>=phi(m) 时a^b=a^(b%phi(m)+phi(m))!=a^(b%phi(m))

                            b<phi(m)时 a^b !=a^(b+phi(m))

       我们求f(n)=(n%10)^f(n/10) %m

       如果f(n/10)>=phi(m) 

             那么我们 递归求出t= f(n/10)%phi(m),再用快速幂取mod，计算(n%10)^(t+phi(m))%m

       如果f(n/10)<phi(m)

             那递归求出t= f(n/10)%phi(m),再用快速幂取mod，计算(n%10)^t%m

       现在的问题是如何判断f(n/10)和phi(m)的大小？

3、判断f(n)和m的大小

       对于普通的a^b%c 如何判断a^b是否>=c.直接的想法是，在快速幂取模中r保存结果，p倍增，一旦r或者p>=c 我们就可以得到a^b>=c

        3.1 如果f(n/10)<phi(m) 那么我们通过快速幂直接验证f(n)和m 的关系

        3.2如果f(n/10)>=phi(m) 如果n%10为1或者0，必然有f(n)<m

                                              如果a=n%10不为0或者1 , a^phi(m)>=2^phi(m) ?>=? 2^ log m>=m

                                              就有f(n)>m

        打问号的地方没有证……对于这个题基本成立

       这样递归求出phi(m)和f(n/10)的关系，可以用到m和f(n)上。

欧拉公式与欧拉phi函数实现

from: http://www.cnblogs.com/luna-lovegood/archive/2012/07/17/2595884.html　　

欧拉函数phi(n)表示1到n之间与n互素的整数的个数。对于一个整数a，如果gcd(a,n)==1，则aphi(n) ==1(mod n)。
建设整数n可以分解为素数的乘积：

　　n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pn^kn。

　　则phi(n) = (p1^k1 - p1^(k1-1)) * (p2^k2 - p2^(k2-1)) * ... * (pn^kn - pn^(kn-1))

　　还可以表示为：

　　phi(n)   =  p1^(k1-1)*(p1 - 1) * p2^(k2-1)*(p2-1) * ... * pn^(kn-1) * (pn - 1)

　　　　　　=  n * ((p1-1)*(p2-1)* ... *(pn-1)) / (p1*p2* ... * pn)

#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
bool big;
int pow(int n,int k,int m){
if(k==0)return 1;
long long tmp=pow(n,k/2,m);
tmp=tmp*tmp;
if(tmp>=m){
tmp%=m;
big=true;
}
if(k&1){
tmp=tmp*n;
if(tmp>=m){
tmp%=m;
big=true;
}
}
return (int)tmp;
}
int eular(int n){
int tmp=1;
for(int x=2;x<=n/x;x++){
if(n%x==0){
int t=1;
while(n%x==0){
n/=x;
t*=x;
}
tmp*=t-t/x;
}
}
if(n>1)tmp*=n-1;
return tmp;
}
int f(int n,int m){
if(n==0)return 1;
int x=n%10;
int y=f(n/10,eular(m));
big=false;
int tmp=pow(x,y,m);
if(big)tmp+=m;
return tmp;
}
int main(){
int ca;
scanf("%d",&ca);
while(ca--){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%d\n",f(n,m)%m);
}
}