LCA在线算法（RMQ st算法的结合）

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从中可以发现u，v的LCA一定在她们的最短路径上，也就是first[u]~first[v]之间，那么只要找到这之间的最小值，那么就找到了LCA的。

这基本就是这个lca的思想。

按照我的理解首先要dfs一边求出first [u]，deep[u]，并且记录下first[u]所对应的u；

代码如下：

void dfs(int fa,int d)
{
vis[fa]=1;
ver[++tot]=fa;
first[fa]=tot;
dep[tot]=d;
for(int i=head[fa];i!=-1;i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(!vis[v])
{
dfs(v,d+1);
ver[++tot]=fa;
dep[tot]=d;
}
}
}

然后继续RMQ预处理，ST算法，这个是在上面所说的博客模板

所谓ST算法就是 

令dp[i][j]为从下标i开始，长度为（1<<j）长的元素的最小值，那么状态转移方程就是

dp[i][j]=min{dp[i][j-1]，dp[i+(2<<(j-1)][j-1]}

void ST(int N)
{
for(int i=1;i<=N;i++) dp[i][0]=i;
for(int j=1;(1<<j)<=N;j++)
{
for(int i=1;i<=N;i++)
{
if(i+(1<<(j-1))<=N)
{
int a=dp[i][j-1],b=dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
dp[i][j]=dep[a]<dep[b]?a:b;
}
}
}
}

RMQ，原理是令k为满足（1<<k)<=(r-l+1)的最大整数，则以 l 开头的，长度为2的k次方的区间长度覆盖了查询区间（l，r），由于是求最小值，所以没有关系，但是如果是累加的话，就要错，那么他的结果就是min（dp[l][k]，dp[r+1-(1<<k)][k]）;

int RMQ(int x,int y)
{
int k=floor(log(y-x+1)/log(2));
int a=dp[x][k],b=dp[y-(1<<k)+1][k];
return dep[a]<dep[b]?a:b;
}
int LCA(int u,int v)
{
int x=first[u],y=first[v];
if(x>y) swap(x,y);
int pos=RMQ(x,y);
return ver[pos];
}

注意本来应该用dp数组来存最小值，pos数组来存位置，现在我去掉了pos数组，用dp数组存位置，那么最小时其实只要用位置访问dep数组就可以了。