hihoCoder-第115周-网络流一·Ford-Fulkerson算法

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题目1 : 网络流一·Ford-Fulkerson算法

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描述

小Hi和小Ho住在P市，P市是一个很大很大的城市，所以也面临着一个大城市都会遇到的问题：交通拥挤。

小Ho：每到周末回家感觉堵车都是一种煎熬啊。

小Hi：平时交通也还好，只是一到上下班的高峰期就会比较拥挤。

小Ho：要是能够限制一下车的数量就好了，不知道有没有办法可以知道交通系统的最大承受车流量，这样就可以限制到一个可以一直很顺畅的数量了。

小Hi：理论上是有算法的啦。早在1955年，T.E.哈里斯就提出在一个给定的网络上寻求两点间最大运输量的问题。并且由此产生了一个新的图论模型：网络流。

小Ho：那具体是啥？

小Hi：用数学的语言描述就是给定一个有向图G=(V,E)，其中每一条边(u,v)均有一个非负数的容量值，记为c(u,v)≥0。同时在图中有两个特殊的顶点，源点S和汇点T。

举个例子：



其中节点1为源点S，节点6为汇点T。

我们要求从源点S到汇点T的最大可行流量，这个问题也被称为最大流问题。

在这个例子中最大流量为5，分别为：1→2→4→6，流量为1；1→3→4→6，流量为2；1→3→5→6，流量为2。

小Ho：看上去好像挺有意思的，你让我先想想。

提示：Ford-Fulkerson算法

输入

第1行：2个正整数N,M。2≤N≤500，1≤M≤20,000。

第2..M+1行：每行3个整数u,v,c(u,v)，表示一条边(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤N，0≤c(u,v)≤100。

给定的图中默认源点为1，汇点为N。可能有重复的边。

输出

第1行：1个整数，表示给定图G的最大流。

样例输入

6 7

1 2 3

1 3 5

2 4 1

3 4 2

3 5 3

4 6 4

5 6 2

样例输出

5

标号法模板

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=505;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct node
{
int c;//容量
int f;//流量
} map[maxn][maxn];
int path[maxn];//记录路径
int vis[maxn];//标记是否访问
int alpha[maxn];//记录残留网络中的可改进量
int N,M;
int Find_path()//寻找增广路径，生成残留网络并返回汇点的可改进量
{
memset(path,0,sizeof(path));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(alpha,0,sizeof(alpha));
path[1]=1;
vis[1]=1;
alpha[1]=INF;
queue<int>q;
q.push(1);
while(!q.empty())
{
int star=q.front();
q.pop();
for(int i=1; i<=N; i++)
{
if(vis[i]==0)
{
if(map[star][i].c-map[star][i].f>0)//正向流量未满
{
path[i]=star;
alpha[i]=min(map[star][i].c-map[star][i].f,alpha[star]);
vis[i]=1;
q.push(i);
}
else if(map[i][star].f>0)//反向有流量
{
path[i]=star;//注意这里为何这样记录路径
vis[i]=1;
q.push(i);
}
}
}
}
return alpha
;
}
void Update_path(int min_alpha)//更新map图
{
for(int i=N;i!=1;i=path[i])
{
if(map[path[i]][i].c-map[path[i]][i].f>0)
map[path[i]][i].f+=min_alpha;
else if(map[i][path[i]].f>0)
map[i][path[i]].f+=min_alpha;
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&N,&M);
//构图
memset(map,0,sizeof(map));
while(M--)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
map[u][v].c+=w;
}
int max_flow=0;//最大流
while(1)
{
int min_alpha=Find_path();
max_flow+=min_alpha;
if(min_alpha==0)
break;
Update_path(min_alpha);
}
printf("%d\n",max_flow);
return 0;
}

提示内容

小Hi：在你思考完成之前，我再给你讲一些网络流的性质好了。

对于任意一个时刻，设f(u,v)实际流量，则整个图G的流网络满足3个性质：

容量限制：对任意u,v∈V，f(u,v)≤c(u,v)。

反对称性：对任意u,v∈V，f(u,v) = -f(v,u)。从u到v的流量一定是从v到u的流量的相反值。

流守恒性：对任意u，若u不为S或T，一定有∑f(u,v)=0，(u,v)∈E。即u到相邻节点的流量之和为0，因为流入u的流量和u点流出的流量相等，u点本身不会”制造”和”消耗”流量。

对于上面例子中的图，其对应的f网络图为（其中虚线表示实际不存在的边(v,u)）：



在此基础上，假设我们用cf(u,v)来表示c(u,v)-f(u,v)，则可以表示每一条边还剩下多少的流量可以使用，我们称为残留容量。

假设一条边(u,v)，其容量为3，使用了流量f(u,v)=2，则可以表示为：cf(u,v)=1, cf(v,u)=2。

由cf(u,v)构成的图我们称为残留网络。

比如例子中的残留网络图为：



小Ho，你可以从残留网络作为着手点，会比较简单。

小Ho：残留网络，残留网络也就是可以使用的流量……我知道了！

既然残留网络表示还可以使用的流量，那么我就可以从图中找出一条从S到T的路径p，使得路径p上所有边的cf(u,v)都大于0。

假设路径p上最小的cf(u,v)等于k，那我就可以使得S到T增加k的流量。

小Hi：没错，通过该条路径p使得图G的最大流得到了增加，所以这样的路径p被称为增广路径。

小Ho：我大概有一个简单的算法了！

首先我根据读入的信息，就可以得到最初的图G，然后将其转化为残留网络。

接下来我在残留网络上寻找是否有增广路径，如果不存在增广路径，则说明这个图不能再增加流量了。

若存在增广路径，则我将最大流量增加，同时对增广路径上的边cf(u,v)进行修改，再重复寻找增广路径。

整个过程大概就是：

While ( findAugmentPath() ) // 判断是否有增广路
maxFlow = maxFlow + delta // 最大流增加
modifyGraph() // 对增广路进行修改
End While

小Hi：那么你打算怎么实现寻找增广路和修改路径呢？

小Ho：寻找增广路的话，直接使用BFS从源点S开始搜索，记录每个点的路径以及路径上的最小残余容量：

findAugmentPath():
queue = []    // 重置搜索队列
path = []     // 初始化路径数组为0
capacity = [] // 初始化流量数组为0
visited = []  // 初始化访问数组为false
tail = 0
queue[ tail ] = S // 将源点加入队列
capacity[S] = ∞ // 到源点的流量为无穷大
visited[S] = true
i = 0
While (i ≤ tail)
u = queue[i]
If (u == T) Then
// 已经找到一条增广路
Return capacity[T]
End If
For (u, v)∈残留网络 and cf(u,v)≥0 and not visited[v]
// u到v有残留容量，且v未被访问过
path[v] = u // 记录路径
capacity[v] = min(cf(u,v), capacity[u]) // 记录路径上的最小残余容量

visited[v] = true
tail = tail + 1
queue[ tail ] = v
End For
i = i + 1
End While

而对于路径的修改，在已经有path数组的情况下，利用迭代或者回溯都可以完成：

modifyGraph():
flow = capacity[T]
now = T
While ( now is not S )
fa = path[ now ]
cf(fa, now) = cf(fa, now) - flow
cf(now, fa) = cf(now, fa) + flow // 反向的残余容量是增加
now = fa
End While

小Ho：时间复杂度方面，每一次寻找增广路的时间为O(n+m)，每一次修改路径的时间复杂度为O(n)。假设图的最大流为maxflow，那么我的算法时间复杂度为O((n+m)*maxflow)。

小Hi：嗯，你所采用的算法就是最简单的最大流解决办法，最早是由L.R.Ford和D.R.Fulkerson在1956年时发表，因此也被称为Ford-Fulkerson算法。对于第一次接触网络流而言，可以先试着实现这个算法，对于你理解网络流会有很大的帮助。

小Ho：不过小Hi，我有一个小疑问，虽然我直观上感觉找不到新的增广路时就已经是最大流了，但这真的没有问题么？

小Hi：找不到增广路确实是等价于找到最大流，不过具体的证明嘛，请听下回分解。