排序不等式、证明及其应用

1. 定义及证明

设有两个有序数组：a1≤a2⋯≤an 及 b1≤b2⋯≤bn，求证： ∑i=1naibi≥∑i=1naibji≥∑i=1naibn−i+1 （顺序和≥乱序和≥逆序和），其中 j1,j2,…,ji 是自然数的任一个排列。

证明：

令 sk=∑i=1kbi（部分和），s′k=∑i=1kbji（i=1,2,…,n）

显然，sk≤s′k，sn=s′n，又因为，ai−ai+1≤0，所以有 si(ai−ai+1)≥s′i(ai−ai+1)，

所以：

∑i=1naibi=∑i=1n−1si(ai−ai+1)+ansn≥∑i=1n−1s′i(ai−ai+1)+ans′n=∑i=1naibji