【bzoj1096】[ZJOI2007]仓库建设

*题目描述：

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到

以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

*输入：

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

*输出：

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

*样例输入：

3

0 5 10

5 3 100

9 6 10

*样例输出：

32

*提示：

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

*题解：

斜率优化。

首先我们很容易地可以列出DP方程：

fi=mini−1j=1(fj+calc(j+1,i)+ci)。

计calc(j,i) 表示区间[j,i] 内的所有货物全部运送到i节点所需要的代价，fi 表示第i号节点建成仓库所需要的最小代价。

这里如果计算calc(j,i) 的值我是参考hzwer学长的题解的，丢链接跑。

首先我们先假设所有的货物都从1号节点出发，计sumi 为 pi 的前缀和，那么区间内的货物从1号节点到i号节点的费用就是(sumi−sumj)∗xi 。然后每个节点的货物可以少运送的费用为xi∗pi 。于是我们计bi 为 xi∗pi 的前缀和。然后DP的转移方程就变成了：

fi=mini−1j=1(fj+(sumi−sumj)∗xi−(bi−bj)+ci)

将式子稍微转化即可变成我们熟悉的斜率优化的形式：

fi=sumi∗xi+ci−bi+mini−1j=1(fj+bj−sumj∗xi)

比较斜率优化的式子yj−ki∗xj，此时，fj+bj 就是点的纵坐标 yj，sumj 就是点横坐标 xj，xi 就是斜率ki。又因为这题里面斜率ki 和横坐标xj 都是单调的，所以我们可以用单调队列来维护凸包，复杂度O(n)。

*代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#ifdef WIN32
#define LL "%I64d"
#else
#define LL "%lld"
#endif

#ifdef CT
#define debug(...) printf(__VA_ARGS__)
#define setfile()
#else
#define debug(...)
#define filename ""
#define setfile() freopen(filename".in", "r", stdin); freopen(filename".out", "w", stdout)
#endif

#define R register
#define getc() (S == T && (T = (S = B) + fread(B, 1, 1 << 15, stdin), S == T) ? EOF : *S++)
#define dmax(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) : (_b))
#define dmin(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) : (_b))
#define cmax(_a, _b) (_a < (_b) ? _a = (_b) : 0)
#define cmin(_a, _b) (_a > (_b) ? _a = (_b) : 0)
#define cabs(_x) ((_x) < 0 ? (- (_x)) : (_x))
char B[1 << 15], *S = B, *T = B;
inline int F()
{
R char ch; R int cnt = 0; R bool minus = 0;
while (ch = getc(), (ch < '0' || ch > '9') && ch != '-') ;
ch == '-' ? minus = 1 : cnt = ch - '0';
while (ch = getc(), ch >= '0' && ch <= '9') cnt = cnt * 10 + ch - '0';
return minus ? -cnt : cnt;
}
#define maxn 1000010
int x[maxn], p[maxn], c[maxn], q[maxn];
long long b[maxn], sum[maxn], f[maxn];
#define x(_i) (sum[_i])
#define y(_i) (f[_i] + b[_i])
inline double slope(R int i, R int j)
{
return (double) (y(i) - y(j)) / (x(i) - x(j));
}
int main()
{
//  setfile();
R int n = F();
for (R int i = 1; i <= n; ++i)
{
x[i] = F();
p[i] = F();
c[i] = F();
sum[i] = sum[i - 1] + p[i];
b[i] = b[i - 1] + 1ll * p[i] * x[i];
}
/*
memset(f, 63, sizeof (f)); f[0] = 0;
for (R int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (R int j = 0; j < i; ++j)
cmin(f[i], f[j] + (sum[i - 1] - sum[j]) * x[i] - b[i - 1] + b[j] + c[i]);
}
*/
R int h = 1, t = 1;
q[h] = 0;
for (R int i = 1; i <= n; ++i)
{
while (h < t && slope(q[h], q[h + 1]) < x[i]) ++h;
R int j = q[h];
f[i] = f[j] + (sum[i] - sum[j]) * x[i] - b[i] + b[j] + c[i];
while (h < t && slope(q[t - 1], i) < slope(q[t - 1], q[t])) --t;
q[++t] = i;
}
printf("%lld\n", f
);
return 0;
}
/*
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
*/