【bzoj1010】[HNOI2008]玩具装箱toy

*题目描述：

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压

缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1…N的N件玩具，第i件玩具经过

压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容

器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一

个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，

如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容

器，甚至超过L。但他希望费用最小.

*输入：

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

　　

*输出：

　　输出最小费用

　　

*样例输入：

5 4

3

4

2

1

4

*样例输出：

1

*题解：

本弱鸡的斜率优化的第一道题。

把那个平方的式子拆开以后可以化为形如min−ki∗xj+yj，这个就是最经典的斜率优化的式子。我们先来看看斜截式的式子y=kx+b，如果我们把ki看成斜率的话那么我们dp时需要最小化的就是截距，我们把斜截式转化成这个形式：

bi=−ki∗xj+yj

然后我们就可以把之前的那些可以转移到这个的状态的点看做是二维平面上的点(−xj,yj)，这样我们把问题转化为在平面上找到一个点使得斜率为ki 的直线的斜率最小。显然这样的点是在凸包上的，并且这样的点在凸包上和前面一个点的斜率小于等于ki 并且和后面一个点的斜率大于等于ki。这样我们就可以在凸包上二分之类的方法来加速转移。当点的横坐标xi和斜率ki都是单调的时我们还可以用单调队列来维护凸包。

*代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

#ifdef WIN32
#define LL "%I64d"
#else
#define LL "%lld"
#endif

#ifdef CT
#define debug(...) printf(__VA_ARGS__)
#define setfile()
#else
#define debug(...)
#define filename ""
#define setfile() freopen(filename".in", "r", stdin); freopen(filename".out", "w", stdout)
#endif

#define R register
#define getc() (S == T && (T = (S = B) + fread(B, 1, 1 << 15, stdin), S == T) ? EOF : *S++)
#define dmax(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) : (_b))
#define dmin(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) : (_b))
#define cmax(_a, _b) (_a < (_b) ? _a = (_b) : 0)
#define cmin(_a, _b) (_a > (_b) ? _a = (_b) : 0)
#define cabs(_x) ((_x) < 0 ? (- (_x)) : (_x))
char B[1 << 15], *S = B, *T = B;
inline int F()
{
R char ch; R int cnt = 0; R bool minus = 0;
while (ch = getc(), (ch < '0' || ch > '9') && ch != '-') ;
ch == '-' ? minus = 1 : cnt = ch - '0';
while (ch = getc(), ch >= '0' && ch <= '9') cnt = cnt * 10 + ch - '0';
return minus ? -cnt : cnt;
}
#define maxn 50010
int a[maxn], n, l;
long long sum[maxn], f[maxn];
inline long long sqr(R long long x) {return x * x;}
#define y(_i) (f[_i] + sqr(sum[_i] + l))
#define x(_i) (2 * sum[_i])
inline double slope(R int i, R int j)
{
return (y(i) - y(j)) / (1.0 * (x(i) - x(j)));
}
int q[maxn];
int main()
{
//  setfile();
n = F(), l = F() + 1;
for (R int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = F(), sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
for (R int i = 1; i <= n; ++i) sum[i] += i;
//  memset(f, 63, sizeof (f));
f[0] = 0;
/*  for (R int i = 1; i <= n; ++i)
{
R int pos;
for (R int j = 0; j < i; ++j)
{
R long long tmp = f[j] + sqr(sum[i] - sum[j] - l);
f[i] > tmp ? f[i] = tmp, pos = j : 0;
}
//      printf("%d\n", pos );
}*/
R int h = 1, t = 1;
q[h] = 0;
for (R int i = 1; i <= n; ++i)
{
while (h < t && slope(q[h], q[h + 1]) <= sum[i]) ++h;
f[i] = f[q[h]] + sqr(sum[i] - sum[q[h]] - l);
while (h < t && slope(q[t - 1], i) < slope(q[t - 1], q[t])) --t;
q[++t] = i;
}
printf("%lld\n", f
);
return 0;
}
/*
0
1
2
2
4
1
*/