【BZOJ4568】幸运数字,树链剖分/倍增+维护线性基
2016-09-06 19:08
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Time:2016.09.06
Author:xiaoyimi
转载注明出处谢谢
传送门
思路:
对于两个线性基数组a,b,直接向b中加a的元素进行线性基合并就可以了
复杂度O(P2)其中P是线性基的个数,对于这道题来说P最大是60
也就是说对于询问(x,y),我们只要求出x->y路径上的线性基就可以了
暴力求是O(QnP2)
我们考虑路径问题时,一般使用的是树链剖分
考虑链剖+线段树节点维护线性基
复杂度……总之很大,无论是空间还是时间
好像是O(nlognP2+Qlog2nP2)
但是这个东西是不带修改,所以我们可以进化成ST表来维护它,这样每次链剖出的一段重链,查询就是O(1)的了
复杂度是
O(nlognP2+QlognP2)
因为BZOJ是总时限所以可过……
链剖带一个log,终究是比较慢的
所以在ST表的基础上再进行考虑倍增思想
如果我们直接维护的是任意节点到它2^i的祖先那里的线性基呢?
考虑询问(x,y),找到LCA
这样的话每次询问我们只用合并4个线性基就可以了
只不过为了配合ST表的查询,我们需要加一个函数F(x,y)来查找节点x往上走深度为y的节点是谁
原先的链剖由于加上了dfs序,所以不用这么麻烦……
复杂度O(nlognP2+QP2)
重要的优化是
这优化不加你就等着TLE吧
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思路:
对于两个线性基数组a,b,直接向b中加a的元素进行线性基合并就可以了
复杂度O(P2)其中P是线性基的个数,对于这道题来说P最大是60
也就是说对于询问(x,y),我们只要求出x->y路径上的线性基就可以了
暴力求是O(QnP2)
我们考虑路径问题时,一般使用的是树链剖分
考虑链剖+线段树节点维护线性基
复杂度……总之很大,无论是空间还是时间
好像是O(nlognP2+Qlog2nP2)
但是这个东西是不带修改,所以我们可以进化成ST表来维护它,这样每次链剖出的一段重链,查询就是O(1)的了
复杂度是
O(nlognP2+QlognP2)
因为BZOJ是总时限所以可过……
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> #include<cstring> #define M 20003 #define LL long long using namespace std; int n,q,tot,cnt; int first[M],top[M],dep[M],siz[M],son[M],fa[M],L[M],pre[M]; LL ST[M][15][63],t[63],lb[M]; struct edge{ int v,next; }e[M<<1]; int in() { int t=0;char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); while (ch>='0'&&ch<='9') t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48,ch=getchar(); return t; } LL LL_in() { LL t=0;char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); while (ch>='0'&&ch<='9') t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48,ch=getchar(); return t; } void add(int x,int y) { e[++tot]=(edge){y,first[x]};first[x]=tot; e[++tot]=(edge){x,first[y]};first[y]=tot; } void dfs1(int x) { siz[x]=1; for (int i=first[x];i;i=e[i].next) if (fa[x]!=e[i].v) fa[e[i].v]=x, dep[e[i].v]=dep[x]+1, dfs1(e[i].v), siz[x]+=siz[e[i].v], son[x]=(siz[son[x]]>siz[e[i].v]?son[x]:e[i].v); } void dfs2(int x,int tp) { L[x]=++cnt; pre[cnt]=x; top[x]=tp; if (son[x]) dfs2(son[x],tp); else return; for (int i=first[x];i;i=e[i].next) if (son[x]!=e[i].v&&fa[x]!=e[i].v) dfs2(e[i].v,e[i].v); } void unions(LL a[],LL c[]) { for (int i=0;i<=60;++i) t[i]=a[i]; for (int i=0;i<=60;++i) for (int j=60;j>=0;--j) { if (!t[i]) break; if (t[i]>>j&1) if (!c[j]) { c[j]=t[i]; break; } else t[i]^=c[j]; } } main() { n=in();q=in(); for (int i=1;i<=n;++i) lb[i]=LL_in(); for (int i=1;i<n;++i) add(in(),in()); dfs1(1); dfs2(1,1); for (int i=1;i<=n;++i) for (int j=60;j>=0;--j) if (lb[i]>>j&1) {ST[L[i]][0][j]=lb[i];break;} for (int i=1;1<<i<=n;++i) for (int j=1;(1<<i)+j-1<=n;++j) unions(ST[j][i-1],ST[j][i]), unions(ST[j+(1<<i-1)][i-1],ST[j][i]); LL ans;int p; for (int l,r;q;--q) { l=in();r=in();ans=0; memset(lb,0,sizeof(lb)); for(;top[l]!=top[r];l=fa[top[l]]) { if (dep[top[l]]<dep[top[r]]) swap(l,r); p=log2(L[l]-L[top[l]]+1); unions(ST[L[top[l]]][p],lb); unions(ST[L[l]-(1<<p)+1][p],lb); } if (dep[l]>dep[r]) swap(l,r); p=log2(L[r]-L[l]+1); unions(ST[L[l]][p],lb); unions(ST[L[r]-(1<<p)+1][p],lb); for (int i=60;i>=0;--i) if (!(ans>>i&1)) ans^=lb[i]; printf("%lld\n",ans); } }
链剖带一个log,终究是比较慢的
所以在ST表的基础上再进行考虑倍增思想
如果我们直接维护的是任意节点到它2^i的祖先那里的线性基呢?
考虑询问(x,y),找到LCA
这样的话每次询问我们只用合并4个线性基就可以了
只不过为了配合ST表的查询,我们需要加一个函数F(x,y)来查找节点x往上走深度为y的节点是谁
原先的链剖由于加上了dfs序,所以不用这么麻烦……
复杂度O(nlognP2+QP2)
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #include<cmath> #define M 20003 #define LL long long using namespace std; int n,q,tot,cnt; int first[M],fa[M][15],dep[M]; LL ST[M][15][62],t[62],lb[62],ans; struct edge{ int v,next; }e[M<<1]; int in() { int t=0;char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); while (ch>='0'&&ch<='9') t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48,ch=getchar(); return t; } LL LL_in() { LL t=0;char ch=getchar(); while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar(); while (ch>='0'&&ch<='9') t=(t<<1)+(t<<3)+ch-48,ch=getchar(); return t; } void add(int x,int y) { e[++tot]=(edge){y,first[x]};first[x]=tot; e[++tot]=(edge){x,first[y]};first[y]=tot; } void unions(LL a[],LL c[]) { for (int i=0;i<=60;++i) t[i]=a[i]; for (int i=0;i<=60;++i) for (int j=60;j>=0;--j) { if (!t[i]) break; if (t[i]>>j&1) if (!c[j]) { c[j]=t[i]; break; } else t[i]^=c[j]; } } void dfs(int x) { for (int i=1;dep[x]-(1<<i)>0;++i) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; for (int i=first[x];i;i=e[i].next) if (e[i].v!=fa[x][0]) dep[e[i].v]=dep[x]+1, fa[e[i].v][0]=x, dfs(e[i].v); } int LCA(int x,int y) { if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); for (int i=14;i>=0;--i) if (fa[x][i]&&dep[fa[x][i]]>dep[y]) x=fa[x][i]; if (dep[x]>dep[y])x=fa[x][0]; if (x==y) return x; for (int i=14;i>=0;--i) if (fa[x][i]&&fa[y][i]&&fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; return fa[x][0]; } int cal(int x,int goal) { if (dep[x]==goal) return x; for (int i=14;i>=0;--i) if (fa[x][i]&&dep[fa[x][i]]>goal) x=fa[x][i]; return fa[x][0]; } main() { n=in();q=in(); for (int i=1;i<=n;++i) { LL x=LL_in(); for (int j=60;j>=0;--j) if (x>>j&1) {ST[i][0][j]=x;break;} } for (int i=1;i<n;++i) add(in(),in()); dep[1]=1;dfs(1); for (int i=1;1<<i<=n;++i) for (int j=1;j<=n;++j) if (dep[j]-(1<<i)>=0) unions(ST[j][i-1],ST[j][i]), unions(ST[cal(j,dep[j]-(1<<i-1))][i-1],ST[j][i]); for (int x,y,z,p1,p2;q;--q) { memset(lb,0,sizeof(lb)); x=in();y=in();ans=0; z=LCA(x,y); p1=log2(dep[x]-dep[z]+1); unions(ST[x][p1],lb); unions(ST[cal(x,dep[z]+(1<<p1)-1)][p1],lb); p2=log2(dep[y]-dep[z]+1); unions(ST[y][p2],lb); unions(ST[cal(y,dep[z]+(1<<p2)-1)][p2],lb); for (int i=60;i>=0;--i) if (!(ans>>i&1)) ans^=lb[i]; printf("%lld\n",ans); } }
重要的优化是
这优化不加你就等着TLE吧
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