【Derivation】维纳—辛钦公式证明

Provement of Winner-Khintchine formula

Winner-Khintchine formula（维纳—辛钦公式 ）：

||   **维纳-辛钦定理，又称维纳-辛钦-爱因斯坦定理或辛钦-柯尔莫哥洛夫定理。**
||   **该定理指出：宽平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶变换。

维纳-辛钦定理证明

维纳-辛钦定理证明

维纳-辛钦定理证明

平稳随机信号的功率谱密度是由确定信号的能量谱密度及功率谱密度引申来的。

如果信号s(t)不满足∫∞−∞s(t)2dt<∞ ，但是满足

P=limT→+∞1Ts2(t)dt<∞

——称为 功率 信号。

对于功率信号，以下关系成立：

首先定义sT(t)={s(t) |t|≥T20 |t|≤T2

因此，信号的功率

p=limT→+∞1T∫T2−T2s2T(t)dt=limT→+∞1T12π∫T2−T2s2T(t)dt=limT→+∞1T12π∫T2−T2|ST(w)|2dw (Parseval Theorem)

其中，ST(w)=∫∞−∞sT(t)e−jwtdt

最后可得P=12π∫∞−∞limT→+∞|ST(w)|2Tdt

定义P(w)=limT→+∞|ST(w)|2T为功率信号%S(t)的功率谱密度。

对于平稳随机信号{x(t)},它的每一个样本x(k)(t),一般不满足能量信号的要求，但满足功率信号的要求，因此以下关系成立：X(k)T(w)=limT→+∞∫T2−T2xkT(t)ejwtdt

其中x(k)T(t)={x(k)(t) |t|≤T20 |t|>T2

样本x(k)(t)的功率谱密度为

P(k)X(w)=limT→+∞|ST(w)|2T

而12π∫P(k)Xdw=limT→∞∫T2−T2[s(k)(t)]2dt是s(k)(t)的平均功率.

由于s(k)(t)是[s(t)]的一个样本，因此P(k)X(w)也将随着不同的样本而变化。对于平稳随机信号来说，其最终定义的功率谱密度应该为PX(w)=E{P(k)X(w)}

而——大头来了

PX(w)=E{PkX}=E{limT→∞1T(w)2}=E{limT→∞∫T2−T2∫T2−T2x(k)(t2)e−jw(t1−t2)dt1dt2}=limT→∞∫T2−T2∫T2−T2RX(t1−t2)e−jw(t1−t2)dt1dt2

对于平稳随机信号

PX(w)=limT→∞∫T2−T2∫T2−T2s2T(t)dt1dt2

令τ=t1−t2,将上式的积分变量变换为τ和t2,有

PX(w)=limT→∞∫T−T∫T2−τ−T2−τRX(τ)e−jwτdτdt2 =limT→∞1T{∫T0∫T2−τ−T2−τRX(τ)e−jwτdτdt2+∫0−T∫T2+τ−T2−τRX(τ)e−jwτdτdt2} =limT→∞1T{∫T0(T−τ)RX(τ)e−jwτdτ+∫0−T(T+τ)RX(τ)e−jwτdτ} =limT→∞{∫T0(1−τT)e−jwτdτ+∫0−T(1+τT)e−jwτdτ =limT→∞{∫T−T(1−|τ|T)RX(τ)e−jwτdτ} =∫∞−∞RX(τ)e−jwτdτ

所以有

PX(w)=∫∞−∞RX(τ)e−jwτdτ

上式表明，平稳随机信号的功率谱密度及其自相关函数的傅里叶变换，而RX(τ)=12π∫∞−∞PX(w)Ejwτdw

平稳随机信号的功率谱密度及其自相关函数互为傅里叶变换对，这就是著名的Winner-Khintchine定理