图算法(1) - 基础知识

图 G=(V,E)
V：顶点的非空有限集合
E：边集合，V×V的子集，V中顶点对，边的有限集合。
|E| = O(|V|^2)

定义
简单图 （Simple Graph）
任意两个顶点最多只有一条边，且每个点都没有连接到自身的边（圈）。

完全图 （Complete Graph）
若有n个顶点的无向图有n(n-1)/2条边，则此图为完全图。

连通图（Connected Graph）
从图中每一个顶点都有到其他顶点的路径。

无向图（Undirected Graph）
边（u,v）= 边（v,u）
0 ≤ |E| ≤ |V| （|V|-1）/2

有向图（Directed Graph）
（u,v）表示从顶点u到顶点v的一条有向边，记为 u→v。
一个不含有环的有向图称为无环有向图（Directed Acyclic Graph，DAG）
0 ≤ |E| ≤ |V| （|V|-1）

加权图（Weighted Graph）
图中不是边就是顶点与权关联。

稠密图 （Dense Graph）
|E| ≈ |V|^2

稀疏图（Sparse）
|E| ≈ |V| 或 |E| << |V|

稠密图的表示 —— 邻接矩阵

const int maxlength = 100  // 最大顶点数
int[,] = new int[maxlength, maxlength]

有向图 - 非对称矩阵
无向图 - 对称矩阵
输入和查看一遍邻接矩阵时间 - O(|V|^2)
存储一个邻接矩阵所需存储空间 - O(|V|^2)

稀疏图的表示 —— 邻接表
(C#实现)
对每个顶点v∈V，将 v 的所有邻接点存放在一个列表中。

无环有向图（DAG）的拓扑排序
检查有向图中是否存在回路的方法之一 —— 拓扑排序。（任一有向无环图必可进行拓扑排序）
按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列，对有向图中没有次序关系的顶点，可以人为加上任意次序关系。由此所得顶点的线性序列称为拓扑有序序列。
拓扑排序思路
从有向图中选择一个没有前驱的顶点（入度为零的顶点），输出之；
从有向图中删除此顶点以及所有以它为尾的弧（弧头顶点的入度 - 1）；
重复上述两步，直至图为空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。

(拓扑排序算法)

图的存储结构
邻接矩阵
邻接表 (Adjacency List)
有向图的十字链表 (Orthogonal List)
无向图的邻接多重表 (Adjacency Multilist)