字符串的编辑距离

题目：

对于一个字符串a可以通过增加一个字符、删除一个字符、修改一个字符，将字符串a变成字符串b，例如

a= abcddefg

b = abcefg

可以通过a字符串删除两个dd得到b字符串，也可以通过b字符串增加dd编程a字符串，从上面的分析可以知道，增加和删除的代价必须是相同的，这样a字符串变成b字符串的代价和b字符串变成a字符串的代价才会是相同的，否这可能产生代价不对称的情况。其实我们可以设定修改和增加（删除）的代价是不同的，当然也可以认为他们是一样的。

实际的计算过程可以如下进行：

1)比较a[i]和b[j];

2)如果a[i] == b[j]，那么distance = EditDistance(a[i + i], b[j + 1]) + 0;

3)如果a[i] != b[j]，那么可以经过如下操作使得a[i]等于b[j]

   a) a[i]前增加b[j]，那么distance = EditDistance(a[i], b[j + 1] + insert_cost

   b)b[j]前增加a[i]，那么distance = EditDistance(a[i + 1], b[j]) + insert_cost

   c)删除a[i]，那么distance = EditDistance(a[i + 1], b[j]) + delete_cost

   d)删除b[j]，那么distance = EditDistance(a[i], b[j + 1] + delete_cost

   e)a[i]变成b[j]，那么distance = EditDistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

   f)b[j]变成a[i]，那么distance = EditDistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

如果insert_cost == delete_cost，那么a添加字符变成b和b删除字符变成a是等价的，a[i]变成b[j]与b[j]变成a[i]也是等价的，因此实际需要考虑的代价就是下面3种情况：

i) distance = EditDistance(a[i], b[j + 1] + insert_cost(或delete_cost)

ii) distance = EditDistance(a[i + 1], b[j] + insert_cost(或delete_cost)

iii)distance = EditDistance(a[i + 1], b[j + 1] + replace_cost

如果我们回顾一下最长公共子序列问题（LCS），就会发现这个问题和LCS问题几乎是等价的。因为可以这样理解，找出a和b的LCS，保持LCS对齐不变，增加删除一些字符就完成了变换，而这样的代价应该是最小的（猜测的，没有证明）

这样一个问题，我们可以使用递归来解决。

当然的解决方案是用动态规划的方法解决，采用动态规划解决时，我们假设前面字符串都已经变换相同了，那么在a[i]变成b[j]的过程中需要对比如下代价：

1)如果a[i] == b[j]，那么前面的状态可能是a[i - 1] b[j - 1]或者 a[i - 1] b[j]或者a[i] b[j - 1]，我们要比较这些可能的转换过程中哪个代价更小；

2)如果a[i] != b[j]，那么：

   i)a[i] b[j]可能从a[i - 1] b[j - 1]状态通过replace a[i] to a[j] + replace的代价来实现；

  ii)a[i] b[j]可能从a[i ] b[j - 1]状态通过为a[i]前面添加一个b[j -1] + insert的代价来实现；

  iii)a[i] b[j]可能从a[i  - 1] b[j]状态通过删除a[i - 1] + delete的代价来实现；

而这些代价就通过一个向量cost向量来存储。

程序代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main ()
{
string s1,s2;
while( cin>>s1>>s2)
{
int len1 = s1.size();
int len2 = s2.size();
vector<vector<int>> dp(len1+1, vector<int>(len2+1,0));

for(int i = 0; i <= len1; i++)
dp[i][0] = i;
for(int i = 0; i <= len2; i++)
dp[0][i] = i;
//
for(int i = 1; i <= len1; i++){
for(int j = 1; j <= len2; j++){
if(s1[i-1] == s2[j-1])//这个地方注意，调了好久（是i-1&&j-1不是i&&j）
dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
else{
int tmp = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
dp[i][j] = 1 + min(tmp, dp[i-1][j-1]);
}
}
}
cout<<'1'<<'/'<<(dp[len1][len2]+1)<<endl;
}

return 0;
}