背包九讲之二维成本背包

背包九讲之二维成本背包

注意事项

多重背包的理解请建立在01背包与完全背包的基础上，在了解01背包与完全背包后，多重背包即可不攻自破。

01背包：http://blog.csdn.net/u013054715/article/details/52402304

完全背包：http://blog.csdn.net/u013054715/article/details/52403049

多重背包：http://blog.csdn.net/u013054715/article/details/52403324

混合背包：http://blog.csdn.net/u013054715/article/details/52436140

问题描述

二维成本即一种物品需要支付两种成本，前四讲中，所有物品仅有一个重量成本，放在容量为v的背包当中，而在二维成本背包中，则多了一个约束。

具体描述：有n种物品，其中第i件物品的重量为w[i]，体积为v[i]，使用n[i]表示第i件物品的总数量，现有一个重量容量为wv，体积容量为vv的背包，求在两个指标均不超标的情况下，所能存放物品的最大价值。

问题分析

充分理解单维成本背包之后，再去理解二维成本的背包也非难事，在前四讲中，使用f[i][v]表示从前i种商品中选取一定数量放在容量为v的背包中所能存放的最大价值，而在二维成本背包中，在使用f[i][v]不足以表示题目要求了，需要使用f[i][wv][vv]表示从前i种商品中选取一定数量放在重量容量为wv，体积容量为vv的背包中所能存放的最大价值。考虑第i种物品的存取问题，使用f[i][wv - w[i] * n][vv - v[i] * n] + p[i] * n表示第i种物品取了几件（n可为0，0 <= n <= 最大使用量), 该表达式一共可以表示（最大使用量 + 1）种状态，而f[i][v]的值必然是这些状态中的最大值。

算法设计

首先，定义递归出口，当判断到最后一种物品时，可用最后一种物品对背包进行填充，当物品使用完或者背包某一容量指标的剩余容量不足以存放一件该商品时结束填充。

使用数组存每一步迭代过程中的（最大使用量 + 1）种状态，定义函数，返回该数组最大值。

java代码

public class Page5 {
private static int w[] = {2, 3, 5, 1, 3, 2, 7, 4, 2, 6};//重量
private static int v[] = {2, 2, 6, 8, 1, 2, 6, 1, 2, 9};//体积
private static int p[] =  {4, 6, 7, 1, 4, 8, 3, 6, 2, 4};//价值
private static int n[] =  {2, -1, 5, -1, 3, -1, 3, 2, 4, 5};//数量
private static int wv = 6;
private static int vv = 4;
public static void main(String[] args) {
for(int i = 0; i < n.length; i++){
if(n[i] == -1 || n[i] > wv / w[i] || n[i] > vv / v[i]){
n[i] = wv / w[i] < vv / v[i] ? wv / w[i] : vv / v[i];
}
}
System.out.println(fun(p.length - 1, wv, vv));
}
private static int fun(int i, int v1, int v2){
if(i == 0){
return min(n[i], v1 / w[i], v2 / v[i]) * p[i];
}else{
int x = min(n[i], v1 / w[i], v2 / v[i]) + 1;
int a[] = new int[x];
for(int j = 0; j < x; j++){
a[j] = fun(i - 1, v1 - j * w[i], v2 - j * v[i]) + j * p[i];
}
return max(a);
}
}
private static int min(int a, int b, int c){
return (a < b ? a : b) < c ? (a < b ? a : b) : c;
}
public static int max(int a[]){
int index = 0;
if(a.length == 0){
return -1;
}
for(int i = 0; i < a.length; i++){
if(a[i] > a[index]){
index = i;
}
}
return a[index];
}
}

算法优化

1.二维成本背包以及多为成本背包中，总体最大使用量为通过各维度求得的最大使用中的最小值，将数量数组n中大于总体最大使用量的元素置为总体的最大使用量，可有效减少迭代次数；2.在迭代过程中，当某一维度的剩余空间小于所有物品在该维度的最小值时可以结束递归。

以上为我个人二维成本背包的简单理解，如有不到之处，欢迎指正。

未完待续。。。