陶哲轩实分析 6.3 节习题试解

陶哲轩实分析 6.3 节习题试解

6.3.1 设 an=1n，证明 sup(an)∞n=1=1，inf(an)∞n=1=0

1≥an，所以 1 是 an 的上界。

对任意的 x<1，都有 a1>x。所以 1 是 an 最小的上界，所以 sup(an)∞n=1=1。

an>0 所以 0 是 an 的下界。对于任意的 x>0，设 N=[1/x]+1，那么任意的 n>N 都有 an<x。所以任意的 x>0都不是 an 的下界。所以 inf(an)∞n=1=0。

6.3. 2 设 (an)∞n=m 是实数列，并设 x 是广义实数 x:=sup(an)∞n=m。那么对于一切 n≥m 有 an≤x。另外，只要 M∈R∗ 是 (an)∞n=m 的一个上界，就有 x≤M。最后，对于每个满足 y<x 的广义实数 y，至少存在一个 n≥m，使得 y<an≤x。

因为 (an)∞n=m 是 R∗ 的子集，由定理6.2.11 有 an≤x， x≤M。

反证法：如果对于所有的 n≥m 都有 an≤y，那么 y 就是 (an)∞n=m上界，必然有 y≥x，与题目中 y<x 的条件矛盾。所以 对于每个满足 y<x 的广义实数 y，至少存在一个 n≥m，使得 y<an≤x。

6.3.3 设 (an)∞n=m 是具有有限上界 M 的实数列，并且它是单调增的。那么 (an)∞n=m 收敛。并且有： limn→∞(an)∞n=m=sup(an)∞n=m≤M

因为 (an)∞n=m 有界，所以 (an)∞n=m 有上确界。设 x=sup(an)∞n=m≤M

对任意的 ε>0 都有 x−ε<x。所以至少存在一个 aN>x−ε。又由于 (an)∞n=m 是单调增的，所以对任意的 n>N 都有 an>x−ε，也就是 |an−x|<ε。所以对于任意的 ε>0，(an)∞n=m 都是终极 ε− 接近 x 的。所以 ：limn→∞(an)∞n=m=sup(an)∞n=m≤M

6.3.4 证明当 x>1 时，命题 6.3.10 不成立。

n>1 时 (xn)∞n=m 是单调增的，但是没有上界。

假设 (xn)∞n=m 是收敛的： limn→∞(xn)∞n=m=X

我们有恒等式 xn1xn=1，所以有

limn→∞((xn)(1x)n)∞n=m=1limn→∞(xn)∞n=m×limn→∞((1x)n)∞n=m=10×X=1

上面的式子是不合理的。所以 limn→∞(xn)∞n=m 不存在。