算法练习-单链表约瑟夫环的O(n)算法

这个题表示技巧性有点强，我感觉不推荐这么干，但是还是记录学习下吧！

环形单链表的约瑟夫问题

【题目】

据说著名犹太历史学家 Josephus 有过以下故事:在罗马人占领乔塔帕特后,39 个犹太人

与 Josephus 及他的朋友躲到一个洞中,39 个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到,于是

决定了一个自杀方式,41 个人排成一个圆圈,由第 1 个人开始报数,报数到 3 的人就自

杀,然后再由下一个人重新报 1,报数到 3 的人再自杀,这样依次下去,直到剩下最后一 个人时,那个人可以自由选择自己的命运。这就是著名的约瑟夫问题。现在请用单向环形链

表描述该结构并呈现整个自杀过程。 输入:一个环形单向链表的头节点 head 和报数的值 m。

返回:最后生存下来的节点,且这个节点自己组成环形单向链表,其他节点都删掉。 【要求】

如果链表节点数为 N,请实现时间复杂度为 O(N)的解法。

在我们自然的算法上，很容易想到直接循环删除报数为m的节点，这个算法的复杂度为O（n*m）；

代码如下：

// 自然方法
public static Node getNode1(Node head,int m){
if(head==null || head.next==head || m<1){
return head;
}

Node last=head;
while(last.next!=head){
last=last.next;
}

int count=0;
while(last!=head){
if(++count==m){
// kill head
last.next=head.next;
count=0;
}else{
last=last.next;
}
head=last.next;
}

return head;
}

如果想要实现O(N)的算法，首先需要两个 对应转换函数：

1） 报数 与 编号之间的对应关系(假设一共有i个数)

报数（A）          编号(B)
1                 1
2                 2
...               ...
i                 i
i+1               1
i+2               2
...               ...
2*i-1             i-1
2*i               i
...               ...

从上面的关系可以得到：B=(A-1)%i+1

2）删除时 新的链表 和 旧链表之间的对应关系：

长度为i时：   1     2    ... s-2 s-1 s s+1 s+2 ... i
假设删除的节点编号为s
长度为i-1时： i-s+1 i-s+2... i-2 i-1 () 1   2  ... i-s

也就是当删除s时新的链表（长度i-1）和原链表（长度为i）的编号对应关系如上，表达式可为：

old = （new+s-1）% i +1

由1）和2）两个关系式可得（s和m的关系就是编号和报数的关系）：

old = （new+m-1）% i +1   （1）

因此：要计算长度为n的链表最终存活了哪个节点，可以根据 （1）式 的 长度为n-1 存活的节点得到，依次递归，直到长度为1的节点 肯定存活编号为1；再依次回退，计算原链表存活的节点编号；

代码：

// 非自然方法
public static Node getNode2(Node head,int m){
if(head==null || head.next==head || m<1){
return head;
}

// 计算长度
Node cur=head.next;
int tmp=1;
while(cur!=head){
tmp++;
cur=cur.next;
}

tmp=getLive(tmp,m);

while(--tmp!=0){
head=head.next;
}
head.next=head;

return head;
}

public static int getLive(int i,int m){
if(i==1){
return 1;
}

return (getLive(i-1,m)+m-1)%i+1;
}

虽然这种方法的时间复杂度相比第一种低，但我觉得也太难想到了，不是好评~