【用脚趾头解决NOIP】(1):NOIP2010~NOIP2015普及组问题求解

（温馨提示：老司机即将开始飚灵车）

NOIP2010问题求解

第一题：迷之（LZW）编码



题面描述:

LZW编码是一种自适应词典编码。在编码的过程中，开始时只有一部基础构造元素的编码词典，如果在编码的过程中遇到一个新的词条，则该词条及一个新的编码会被追加到词典中，并用于后继信息的编码。

举例说明，考虑一个待编码的信息串：“xyx yy yy xyx”。初始词典只有3个条目，第一个为x,编码为1；第二个为y，编码为2；第三个为空格，编码为3；于是串“xyx”的编码为1-2-1（其中-为编码分隔符），加上后面的一个空格就是1-2-1-3。但由于有了一个空格，我们就知道前面的“xyx”是一个单词，而由于该单词没有在词典中，我们就可以自适应的把这个词条添加到词典里，编码为4，然后按照新的词典对后继信息进行编码，以此类推。于是，最后得到编码：1-2-1-3-2-2-3-5-3-4。

现在已知初始词典的3个条目如上述，则信息串“yyxy xx yyxy xyx xx xyx”的编码是:

你猜！

此题分类： 模天下之大拟

思路描述：这道题毫无任何“思路”可言，只要记住：空格的编码不能忘啊！

本题答案： 2-2-1-2-3-1-1-3-4-3-1-2-1-3-5-3-6

第二题：队列拍（快）照

题面描述:

队列快照是指某一时刻队列中的元素组成的有序序列。例如，当元素1、2、3入队，元素1出队后，此刻的队列快照“2 3”。当元素2、3也出队后，队列快照是“ ”，即为空。现有3个正整数元素依次入队、出队。已知它们的和为8，则共有[b]____[/b]种可能的不同的队列快照。

（不同队列的相同快照只计一次）。例如，“5 1”，“4 2 2”，“”都是可能的队列快照；而“7”不是可能的队列快照，因为剩下的2个正整数的和不可能为1。

此题分类：队列（queue）

思路描述：

我们从头开始。首先，数字8必须得分给3个整数，共计21个排列。



依次取掉队头 ， 得到一堆新队列，再一次衍生出21个排列



同理，再一次去掉队头，此时得到的排列需要去重，只有6个。



但这里有一个陷阱：空队列依旧算一个快照！所以说最后答案需要加1

那么全部加起来就是我们所求。即ans=21+21+6+1=49

本题答案： 49

NOIP2011问题求解

第一题:期末考卷的编码

（温馨提示：以下全程高能）

题面描述: 每份考卷都有一个8位二进制序列号。当且仅当一个序列号含有偶数个1时，它才是有效的。例如，0000000、01010011都是有效的序列号，而11111110不是。那么，有效的序列号共有[b]__[/b]个。

此题分类：愉快的进制转换

思路描述:

这道题依旧是模拟，注意一下1是可以为0个的（0是偶数√）

然后还有一点：枚举所有无效的序列号，因为有效的序列号会枚举到你想死。

（枚举过程我就不给了，毕竟初赛赛场很良心的，时间多到你可以去枚举）

本题答案: 128

第二题：字符串乱搞

定义字符串的基本操作为：删除一个字符＼插入一个字符和将一个字符修改成另外一个字符这三种操作。将字符串Ａ变成字符串Ｂ的最少操作步数，称为字符串Ａ到字符串Ｂ的编辑距离。字符串“ABCDEFG”到字符串“BADECG”的编辑距离为[b]__[/b] 。

本题分类： 字符串操作

思路描述： 这里有一点点小技巧。我们注意观察A、B字符串就会发现：

===========

①：字符A、B交换了位置

②：C取代了F的位置，F被删去

③：其余的字符串没有改变

===========

我们一步一步简化：

暴力操作：交换A、B（2步），删去C、F（2步），插入C（1步），共5步

简化：交换A、B（2步），删去C（1步），将F修改为C（1步），共4步。

这里看上去是最简了，但是我们会发现，我们可以将C删除操作改为用A替换，删去原A，就只花了2步。

正解：删去A（1步），用A替换C（1步），用C替换F（1步），共3步

本题答案： 3

NOIP2012问题求解

第一题：奇怪的中♂线

题面描述：

如果平面上任取n个整点（横纵坐标都是整数），其中一定存在两个点，它们连线的中点也是整点，那么n至少是____。

本题分类: 数论

思路描述： 有什么是一个“几何画板”或者草稿纸不能解决的呢？

这道题我们需要搞一个向量。

我们设在平面上有两点A，B，连一条向量。AB→

然后设向量的中点M。

我们知道，向量的加减法做法是:

AB→=a,CD→=b,就有:a+b=(xa+xb,ya+yb)

那么对于向量得出的结果共有4种:

即:

(xa+xb为奇,ya+yb为偶)

(xa+xb为奇,ya+yb为奇)

(xa+xb为偶,ya+yb为偶)

(xa+xb为偶,ya+yb为奇)

只要上面的情况中满足两个情况，就能满足中点为整点。

根据抽屉原理，那么这里需要5个点，在最坏的情况下满足中点为整点。

本题答案： 5

第二题：吃♂晚餐

题面描述：

在NOI（plus）期间，主办单位为了欢迎来自各国的选手，举行了盛大的晚宴。在第十八桌，有5名大陆选手和5名港澳选手共同进膳。为了增进交♂流，他们决定相隔就坐，即每个大陆选手左右旁都是港澳选手，每个港澳选手左右旁都是大陆选手。那么，这一桌一共有__种不同的就坐方案。

注：如果在两个方案中，每个选手左右相邻的选手相同，则视为同一种方案。

思路描述：这里所有的就坐方案中有5!∗5!，其中的第一个5!为大陆选手的就坐方案，第二个5!代表港澳选手的就坐方案。那么其中还有重复的方案，除以5即可。

那么本题答案就为:5!∗5!5=2880

本题答案： 2880

NOIP2013问题求解

第一题：做♂成一个圆圈

题面描述：

7个同学围坐一圈，要选2个不相邻的作为代表，有___种不同的选法。

本题分类：(即使不会做也要强)硬(的)算(出这道题的结果来骗点分)

思路描述：

小朋友们是坐成这样的



那么这道题就变成了另外一个问题：求七边形的对角线数。

即:



那么对角线公式为（设有n条边）

n(n−3)2

所以答案… 7*4/2=14

本题答案: 14

第二题：黑客公司

题面描述：

某系统自称使用了一种防窃听的方式验证用户密码。密码是n个数s1, s2, …, sn，均为0

或1。该系统每次随机生成n个数a1, a2, …, an，均为0或1，请用户回答(s1a1 + s2a2 + … + snan)除以2的余数。如果多次的回答总是正确，即认为掌握密码。该系统认为，即使问答的过程被泄露，也无助于破解密码——因为用户并没有直接发送密码。

然而，事与愿违。例如，当n = 4时，有人窃听了以下5次问答：



那么，该用户的密码是：[b]___________________[/b]

思路描述：

这里我们设密码的四位分别是：

n1,n2,n3,n4

那么就有：



那么可以得出：

（接下来有一个规律：奇数加奇数为奇数，偶数加偶数为偶数，奇数加偶数为奇数）

n1+n2是奇数，n3+n4是偶数，n1+n2+n4是偶数，n1是偶，即0

将n1是奇数倒推回去得：n2是奇数，即1

将n1+n2带入n1+n2+n4 得：n4也是奇数，即1

将n4带入n3+n4得：n3为奇数，也为1

那么得到密码为：0111

*本题答案：*0,1,1,1

NOIP2014问题求解

第一题：放球♂

题面描述：

把M个同样的球放到N个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问当m=8,n=5时，共有多少种不同的放置方法？

思路描述:直接枚举就ok了。如下图：



本题答案： 18

第二题：最短路

题面描述：



求A到E的最短路。

本题分类：图论

思路描述：……这个么。。我们强行心算就能找到最短路了。

最短路如下：



本题答案： 11

NOIP2015问题求解

第一题：1234の4321

题面描述：

重新排列1234使得每一个数字都不在原来的位置上，一共有___种排法。

本题分类：又是模拟

思路描述：说实话，这种题目还是纯枚举（毕竟赛场上时间多的是）

那么枚举如下图:



本题答案： 9（种）

第二题：二叉树的叶子

题面描述：

一棵结点数为2015的二叉树最多有___个叶子结点。



思路描述：

一个二叉树，如果拥有最多的叶子节点，那么这棵树一定是完全二叉树。这样才会有更多的节点拥有子节点，从而衍生出最多的叶子节点。

用完了概念，开始用公式。二叉树的叶子节点个数是度为2的节点个数+1，那么完全二叉树上度只有三种情况：0，1，2。

那么叶子节点就为度为0的点。若设度为0的节点个数为T0个，度为1的节点有T1个，度为2的有T2个，又有T0=T2+1，还得到：

T0+T1+T2=2015，加上之前得到的等量关系，写成:

T0+T1+T0+1

=2T0+T1+1

又因为T0+T1+T2=2015

那么2T0+T1=2014，若要使得T0最大，就令T1为0。

那么算式转换成了2T0=2014，得到T0=1008

*本题答案：*1008

飙车到此完毕

谢谢大家XDD