面试题整理-斐波那契数列

这个很好。其实也就是f(0) = 0, f(1) = 1. 然后 f(n) = f(n-1) +  f(n-2);
测试链接点击打开链接。求解：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

long long a[71];
void init(void) {
a[0] = 0;
a[1] = a[2] = 1;
for (int i = 3; i < 71; ++i) {
a[i] = a[i-1] + a[i-2];
}
}

int main(void) {
int n;init();
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
printf("%lld\n", a
);
}
return 0;
}
//注意打表及长整型。
解题
首先，不要用递归的方法。那个是很烂的解法。直接忽略。这里也不用打表的方法。也就是说，每给一个数。直接进行计算从而得到结果。
你可能会想到下面的这个方法：

int fib(int n) {
if (0 == n) return 0;
if (1 == n || 2 == n) return 1;
int a = 1, b = 1, ret = 0;
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
ret = a + b;
b = a;
a = ret;
}
return ret;
}

但是这种方法，有个很明显的缺点。也就是容易溢出。32位只能计算至45。64位只能计算至92。所以当数值一大，不管是用long或者long long也好。都不能解决。
 
大整数斐波那契数列-推荐使用，简单有效
那么首先想到的是利用大整数来进行求解。这里我们用string来摸拟大整数。

#include <iostream>
#include <string>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

string &_string_add_string(const string &a, const string &b, string &res)
{
int sum_value = 0, add_bit = 0;
const int alen = a.length(), blen = b.length();
res = "0" + (alen > blen ? a : b);
for (int i = alen-1, j = blen-1, k = res.length() - 1;
i >= 0 || j >= 0 || add_bit > 0;
--i, --j, --k){
sum_value = (i>=0 ? a[i]-48: 0) + (j>=0 ? b[j]-48: 0) + add_bit;
add_bit = sum_value / 10;
res[k] = sum_value%10 + '0';
}
if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);
return res;
}

string fib(int n) {
if (0 == n) return "0";
if (1 == n || 2 == n) return "1";
string a = "1", b = "1", ret = "0";
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
_string_add_string(a, b, ret);
b = a;
a = ret;
}
return ret;
}

int main(void)
{
int n;
string a, b, c;
string ret;
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
printf("%s\n", fib(n).c_str());
}
return 0;
}

现在得到一个大整数的解法。也就是对于任意大的数。都可以得到解。现在希望对这个进行改进。大数的加法，测试地址。
lg(n)的斐波那契数列
首先是效率问题，当n特别大的时候。求解起来，很不方便。于是我们想怎么去改进这个效率。
比如F(n) = F(n - 1) + F(n-2);
从而可以得到矩阵公式：
[F(n) F(n-1)] = [F(n-1) F(n-2)] * A;
A矩阵等于
1 1
1 0
不用多说，把公式展开。也就是[ F(n) F(n-1)] = [F(1) F(0)] * pow(A, n-1);
而我们知道[ F(1) F(0)] = [ 1 0]; 也就是说F(n) = pow(A, n - 1) [0][0];
也就是矩阵pow(A, n-1) 最左上角的第一个元素。
实际，也就是把O(n)的累加问题变成了pow()指数问题。
这里写一个高效的pow()模板。是O(log2n)。

template<typename T>
T pow(T a, int n)
{
T odd = 1;
while (n)
{
if (n&1) odd *= a;
a *= a;
n>>=1;
}
return odd;
}

根据这个模板，我们只需要重写一个矩阵的乘法就可以了。不要去写一个矩阵类啊。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct _node
{
long long a, b;
long long c, d;
} node;

void _multiple(node *x, node *y) {
node temp;
temp.a = x->a*y->a + x->b*y->c;
temp.b = x->a*y->b + x->b*y->d;
temp.c = x->c*y->a + x->d*y->c;
temp.d = x->c*y->b + x->d*y->d;
*x = temp;
}

long long fib(int n)
{
if (0 == n) return 0;
if (1 == n || 2 == n) return 1;

node odd; odd.a = odd.d = 1; odd.c = odd.b = 0; //单位矩阵
node temp; temp.a = temp.b = temp.c = 1; temp.d = 0; // A矩阵

--n;
while (n) {
if (n&1) _multiple(&odd, &temp);
_multiple(&temp, &temp);
n >>= 1;
}

return odd.a;
}

int main()
{
int n;
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
printf("%lld\n", fib(n));
}
return 0;
}
结构很清晰。但是还是有前面提出来的问题。也就是溢出问题。C++没有大数。算了，还是自己用string模拟一下吧。
大数的乘法
我们只需要处理的是大数的乘法。而大数的乘法是依赖于大数的加法的。所以相当于加法与乘法都要用到。
那么先来个大数的乘法吧。大数乘法。
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

string &_del_zeros_before_dot(string &a)
{
if (a.length() <= 0 || a[0] != '0') return a;
int i = 0;
while (i < a.length() && a[i] == '0') ++i;
a = a.substr(i, a.length() - i);
return a;
}

string &_string_add_string(const string &a, const string &b, string &res)
{
int sum_value = 0, add_bit = 0;
const int alen = a.length(), blen = b.length();
res = "0" + (alen > blen ? a : b);
for (int i = alen-1, j = blen-1, k = res.length() - 1;
i >= 0 || j >= 0 || add_bit > 0;
--i, --j, --k){
sum_value = (i>=0 ? a[i]-48: 0) + (j>=0 ? b[j]-48: 0) + add_bit;
add_bit = sum_value / 10;
res[k] = sum_value%10 + '0';
}
if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);
return res;
}

string &_gen_zeros_string(int n, string &res) {
string temp = "0";
res = "";
while (n) {
if (n&1) res += temp;
temp += temp;
n >>= 1;
}
return res;
}

string &_string_multiply_char(
const string &a,
char c, int n_zeros, string &res) {

int ch = c - '0';
string zeros_string;
_gen_zeros_string(n_zeros, zeros_string);
res = "0" + a + zeros_string;

const int alen = a.length();
for (int i = alen - 1, k = alen, add_bit = 0;
i >= 0 || add_bit > 0; --i, --k) {
int v = (i>=0 ? a[i]-48: 0) * ch + add_bit;
add_bit = v / 10;
res[k] = v % 10 + '0';
}
if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);

return res;
}

string &_string_multiply_string(const string &a, const string &b, string &res) {
string c = a, d = b;
_del_zeros_before_dot(c);
_del_zeros_before_dot(d);
int clen = c.length(), dlen = d.length();

if (clen < dlen) {
string t = c; c = d; d = t;
int x = clen; clen = dlen; dlen = x;
}

res = "0";
for (int i = dlen - 1; i >= 0; --i) {
string temp_res;
_string_multiply_char(c, d[i], (dlen - 1 - i), temp_res);

string add_res;
_string_add_string(res, temp_res, add_res);
res = add_res;
}
return res;
}

int main(void)
{
string a, b, c;
while (cin >> a >> b) {
_string_multiply_string(a, b, c);
cout << c << endl;
}
return 0;
}
大数乘法搞定之后，应该把大数引入至O(lgN)中去。
 带大数的斐波那契数--做研究，不是很推荐
 这里把大数模板代入到O(lgN)中去。

#include <iostream>
#include <string>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;

string &_del_zeros_before_dot(string &a)
{
if (a.length() <= 0 || a[0] != '0') return a;
int i = 0;
while (i < a.length() && a[i] == '0') ++i;
a = a.substr(i, a.length() - i);
return a;
}

string &_string_add_string(const string &a, const string &b, string &res)
{
int sum_value = 0, add_bit = 0;
const int alen = a.length(), blen = b.length();
res = "0" + (alen > blen ? a : b);
for (int i = alen-1, j = blen-1, k = res.length() - 1;
i >= 0 || j >= 0 || add_bit > 0;
--i, --j, --k){
sum_value = (i>=0 ? a[i]-48: 0) + (j>=0 ? b[j]-48: 0) + add_bit;
add_bit = sum_value / 10;
res[k] = sum_value%10 + '0';
}
if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);
return res;
}

string &_gen_zeros_string(int n, string &res) {
string temp = "0";
res = "";
while (n) {
if (n&1) res += temp;
temp += temp;
n >>= 1;
}
return res;
}

string &_string_multiply_char(
const string &a,
char c, int n_zeros, string &res) {

int ch = c - '0';
string zeros_string;
_gen_zeros_string(n_zeros, zeros_string);
res = "0" + a + zeros_string;

const int alen = a.length();
for (int i = alen - 1, k = alen, add_bit = 0;
i >= 0 || add_bit > 0; --i, --k) {
int v = (i>=0 ? a[i]-48: 0) * ch + add_bit;
add_bit = v / 10;
res[k] = v % 10 + '0';
}
if (res[0] == '0') res = res.substr(1, res.length() - 1);

return res;
}

string &_string_multiply_string(const string &a, const string &b, string &res) {
string c = a, d = b;
_del_zeros_before_dot(c);
_del_zeros_before_dot(d);
int clen = c.length(), dlen = d.length();

if (clen < dlen) {
string t = c; c = d; d = t;
int x = clen; clen = dlen; dlen = x;
}

res = "0";
for (int i = dlen - 1; i >= 0; --i) {
string temp_res;
_string_multiply_char(c, d[i], (dlen - 1 - i), temp_res);

string add_res;
_string_add_string(res, temp_res, add_res);
res = add_res;
}
return res;
}

typedef struct _node {
string a, b;
string c, d;
}node;

inline void _m_fun(const string &a, const string &b,
const string &c, const string &d, string &res) {
string ares, bres;
_string_multiply_string(a, b, ares);
_string_multiply_string(c, d, bres);
_string_add_string(ares, bres, res);
}
void _multiple(node &x, node &y) {
node temp;
string ares, bres;
_m_fun(x.a, y.a, x.b, y.c, temp.a); //temp.a = x->a*y->a + x->b*y.c;
_m_fun(x.a, y.b, x.b, y.d, temp.b); //temp.b = x->a*y->b + x->b*y.d;
_m_fun(x.c, y.a, x.d, y.c, temp.c); //temp.c = x->c*y->a + x->d*y.c;
_m_fun(x.c, y.b, x.d, y.d, temp.d); //temp.d = x->c*y->b + x->d*y->d;
x = temp;
}

string fib(int n)
{
if (0 == n) return "0";
if (1 == n || 2 == n) return "1";

node odd; odd.a = odd.d = "1"; odd.c = odd.b = "0"; //单位矩阵
node temp; temp.a = temp.b = temp.c = "1"; temp.d = "0"; // A矩阵

--n;
while (n) {
if (n&1) _multiple(odd, temp);
_multiple(temp, temp);
n >>= 1;
}

return odd.a;
}

int main(void)
{
int n;
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
string res = fib(n);
printf("%s\n", res.c_str());
}
return 0;
}

不过虽然是引进了乘法，不过由于大数模板乘法效率并不高效。速度还是比较慢的。还是推荐前面利用加法的大数模板。