子数组之和最大值(二维数组)
2016-08-29 21:39
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我们在前面分析了一维数组的子数组之和最大值的问题,那么如果是二维数组又该如何分析呢?
最直接的方法,当然就是枚举每一个矩形区域,然后再求这个矩形区域中元素的和。
解法一:枚举
采用这种方法的时间复杂度为O(N2*M2*sum的时间复杂度)。
对于部分和sum,可以作一个预处理,设p[i][j]表示从arr[0][0]加到arr[i][j]的和;
则从arr[i1][j1]加到arr[i2][j2]的和为:
sum(arr, i1, i2, j1, j2) = p[i2][j2] + p[i1-1][j1-1] - p[i1-1][j2] - p[i2-1][j1]
这个预处理的时间复杂度为O(NM),算法时间复杂度为O(N2*M2)。
方法二:动态规划
假设已经确定了矩形区域的上下边界,比如知道矩形区域的上下边界分别是第a行和第c行,现在要确定左右边界。
其实这个问题就是一维的,可以把每一列中第a行和第c行之间的元素看成一个整体。即求数组(BC[1], ..., BC[M])中和最大的一段,其中BC[i]=B[a][i] + ... + B[c][i]。
这样,我们枚举矩形的上下边界,然后再用一维情况下的方法确定左右边界,就可以得到二维问题的解。新的方法的时间复杂度为O(N*M*min(N, M))。
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最直接的方法,当然就是枚举每一个矩形区域,然后再求这个矩形区域中元素的和。
解法一:枚举
采用这种方法的时间复杂度为O(N2*M2*sum的时间复杂度)。
对于部分和sum,可以作一个预处理,设p[i][j]表示从arr[0][0]加到arr[i][j]的和;
则从arr[i1][j1]加到arr[i2][j2]的和为:
sum(arr, i1, i2, j1, j2) = p[i2][j2] + p[i1-1][j1-1] - p[i1-1][j2] - p[i2-1][j1]
这个预处理的时间复杂度为O(NM),算法时间复杂度为O(N2*M2)。
方法二:动态规划
假设已经确定了矩形区域的上下边界,比如知道矩形区域的上下边界分别是第a行和第c行,现在要确定左右边界。
其实这个问题就是一维的,可以把每一列中第a行和第c行之间的元素看成一个整体。即求数组(BC[1], ..., BC[M])中和最大的一段,其中BC[i]=B[a][i] + ... + B[c][i]。
这样,我们枚举矩形的上下边界,然后再用一维情况下的方法确定左右边界,就可以得到二维问题的解。新的方法的时间复杂度为O(N*M*min(N, M))。
public class Array_2 { public static void main(String[] args) { int[][] h={{1,2,3},{4,-5,6},{7,8,9}}; System.out.println(Maxsum_2(h)); } public static int Maxsum_2(int[][] arr) { int maxumum=Integer.MIN_VALUE; for(int i=0;i<arr.length;i++) { for(int j=i;j<arr.length;j++) { //System.out.print("i="+i+"j="+j+" "); int sum=0; int[] n = new int[arr[0].length]; for(int w=0;w<arr[0].length;w++) { sum=0; for(int k=i;k<=j;k++) { sum = sum+arr[k][w]; } n[w]=sum; //System.out.print(w+" "+n[w]+" "); } if(Maxsum_ultimate(n)>maxumum) maxumum =Maxsum_ultimate(n); } } return maxumum; } public static int Maxsum_ultimate(int[] arr)//一维数组子数组最大计算公式,O(N). { int maxSum = Integer.MIN_VALUE; int sum = 0; for(int i = 0; i < arr.length; ++i) { if(sum < 0) { sum = arr[i]; }else { sum += arr[i]; } if(sum > maxSum) { maxSum = sum; } } return maxSum; } }结果如下:
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