Baby-Step-Gaint-Step算法详解

Baby-Step-Gaint-Step

 
  Baby-Step-Gaint-Step用来求解高次同余方程 A^x ≡ B (mod C) 中已知A B C求较大x的情况。

按wiki百科所言：

①令x=i*n+j，其中n=ceil(sqrt(C))，原式变为A^(i*n+j) = B (mod C)，两边同时乘上A^(-n*i)，可以得到A^j=B*A^(-n*i) (mod C)；
②处理等号左边A^j：循环i=[0,C-1]，求出（A^i,i)插入hash表；
③处理等号右边B*A^(-n*i) (mod C)：由于B*A^(-n*i) =B/A^(n*i) ，则用拓展欧几里得算法求A^(n*i)关于模C的乘法逆元x（即满足(A^(n*i))^x ≡ 1 (mod C)），此时B*A^(-n*i) = B*x(mod C)；
④枚举，求出左右式子相等的情况即为方程的解。

（POJ3243模板裸题AC代码）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<malloc.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 100000

struct Hash
{
int a,b,next;
} hash[2*maxn];
int flag[maxn];
int top,idx;

void Insert(int a,int b)
{
int k=b&maxn;
if(flag[k]!=idx)
{
flag[k]=idx;
hash[k].next=-1;
hash[k].a=a;
hash[k].b=b;
return;
}
while(hash[k].next!=-1)
{
if(hash[k].b==b) return;
k=hash[k].next;
}
hash[k].next=++top;
hash[top].next=-1;
hash[top].a=a;
hash[top].b=b;
}

int Find(int b)
{
int k=b&maxn;
if(flag[k]!=idx) return -1;
while(k!=-1)
{
if(hash[k].b==b) return hash[k].a;
k=hash[k].next;
}
return -1;
}

int gcd(int a,int b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//拓展欧几里得求逆元
{
int t,d;
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
d=exgcd(b,a%b,x,y);
t=x,x=y,y=t-a/b*y;
return d;
}

int inval(int a,int b,int n)
{
int x,y,e;
exgcd(a,n,x,y);
e=(long long)x*b%n;
return e<0?e+n:e;
}

int pow_mod(long long a,int b,int c)//矩阵快速幂
{
long long ret=1%c;
a%=c;
while(b)
{
if(b&1) ret=ret*a%c;
a=a*a%c;
b>>=1;
}
return ret;
}

int BabyStep(int A,int B,int C)
{
top=maxn;
++idx;
long long buf=1%C,D=buf,K;
int i,d=0,tmp;
for(i=0; i<=100; buf=buf*A%C,++i)//从0到100循环验证：A^i≡B(mod C)
if(buf==B) return i;//找到满足等式的i
while((tmp=gcd(A,C))!=1)
{
if(B%tmp) return -1;//因为A^x=B+k*C，所以B%tmp==0，即非零情况无解
++d;
C/=tmp;
B/=tmp;
D=D*A/tmp%C;
}
int M=(int)ceil(sqrt((double)C));//向上取整
for(buf=1%C,i=0; i<=M; buf=buf*A%C,++i)//从0到M循环，将(i,A^i%C)插入hash表
Insert(i,buf);
for(i=0,K=pow_mod((long long)A,M,C); i<=M; D=D*K%C,++i)//求D*X=B(mod C)在[0,C-1]上的解
{
tmp=inval((int)D,B,C);
int w;
if(tmp>=0&&(w=Find(tmp))!=-1)//在hash表中查找到
return i*M+w+d;
}
return -1;
}

int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
int A,B,C;
while(cin>>A>>C>>B,A||B||C)
{
B%=C;
int tmp=BabyStep(A,B,C);
if(tmp<0) puts("No Solution");
else cout<<tmp<<endl;
}
return 0;
}
/**
5 58 33
2 4 3
0 0 0
**/

POJ2417&&POJ3243：http://blog.csdn.net/MIKASA3/article/details/52101588?locationNum=1