51NOD 1661 黑板上的游戏（博弈 找规律）——算法马拉松17（告别奥运）

传送门

1661 黑板上的游戏

Alice和Bob在黑板上玩一个游戏，黑板上写了n个正整数a1, a2, …, an，游戏的规则是

这样的：

1 . Alice占有先手主动权。

2 . 每个人可以选取一个大于1的数字擦去，并写上一个更小的数字，数字必须是整

数，然后由对方进行下一次操作。

3 . 如果擦去的数字是 x (x > 1) ，则写上的数字不能比 x/k 小，但是要比 x 小。这里的

除法为有理数除法。

4 . 不可以擦去任何一个数字 1 ，如果当前无法找到一个数字进行操作，则当前方输。

假设Alice和Bob都会选择最优的策略，请问Alice是否存在必胜的方案？

Input

第一行两个空格隔开的正整数n和k，其中n表示数字的个数，k表示游戏的参数。

第二行n个空格隔开的正整数，其中第i个表示ai。

1 ≤ n ≤ 10^5, 2 ≤ k ≤ 10^18, 1 ≤ ai ≤ 10^18。

Output

如果存在必胜方案，则输出“Alice i y”，其中i和y表示先手的一种能必胜的操作：将第i

个数修改为y。

如果没有，则输出“Bob”表示后手必胜。（输出不含引号）

Input示例

4 2

2 3 3 3

Output示例

Alice 2 2

解题思路：

官方题解(很详细):

固定 k 后对 sg(n) 进行打表，可以发现每个数字第一次出现的位置很有规律，即每隔

几个数字就出现一个已有的数字。删去每个数字的第一次出现位置之后，将剩下的数字

再排成一列，和原来的表是同构的，可以猜测 sg(n) 的递归解是

sg(1)=0,sg(a∗k+1)=sg(a),sg(a∗k+b)=a(k−1)+b−1(1<b<=k,注意b的定义)。

本题为 n 个游戏的和，所以对应的 sg 值为 sg(a1) xor sg(a2) xor ... xor sg(an)。

如果 sg 值为 0，则后手必胜。

如果 sg 值不为 0，则先手必胜，必胜的操作是将下一轮游戏的 sg 值变为 0 ，设当前

的 sg 值为 m，则需要找到一组 i 和 y 使得 m=sg(ai) xor sg(y)，

那么sg(y)=m xor sg(ai，不妨设p=m xor sg(ai)，q=(p−1)/(k−1)∗k+(p−1) （p=0时特判成q=1），

可能的 y 只有q,qk+1,(qk+1)k+1,...，其中小于 ai 的只有O(logk(ai))个，

在其中找一个不小于 ai/k 的即可，枚举 i，总能找到一个i对应的可行的 y

注意向上取整和判断整数溢出。

这里补一个简要证明，基于 sg 函数的定义，一个局面的 sg 值等于其后继局面的 sg 值

里没出现的最小非负整数，比如本题就是:

sg(n)=mex(sg(n−1),sg(n−2),...,sg((n−1)/k+1))，

其中 mex(S) 表示集合 S 中没有出现的最小非负整数，除法是下取整的整数除法。

考虑 n 和 n−1，它们所对应后继集合最多有两个元素不同，尝试利用数学归纳法来分

析，分析sg(n)时，假设已经得到sg(1),sg(2),...,sg(n−1)满足上述结论。

由于后继局面可以写成一个区间的形式，所以下面的分析用 [L,R] 来简化表示

(sg(L),sg(L+1),...,sg(R))

当 n=ak+1时，ak+1对应的后继是[a+1,ak]，ak对应的后继是 [a,ak−1]

假设 sg(ak+1)≠sg(a)，则sg(ak+1)<sg(a)，这是因为 a 不是ak+1的后

继，如果 sg(a) 不是最小没出现的，那么最小没出现的只能是更小的数。

由于 sg(ak+1) 是一个比 sg(a) 小的数，说明 [a+1,ak] 里没有这个数，那么

[a,ak−1] 里更不会有这个数，因此 sg(ak)<=sg(ak+1)，从而sg(ak)<sg(a)

但是 sg(ak) 根据归纳假设是 [1,ak] 里最大的值，因此有 sg(a)<=sg(ak)，与上

述产生矛盾，所以sg(ak+1)=sg(a)

当 n=ak+b(1<b<=k) 时，n 对应的后继是 [a+1,n−1]， n−1 对应的

后继是[a+1,n−2]。

由上述可以知道 sg(n−1)<sg(n) ，这是因为 sg(n−1) 没有在 n−1 的后继里

出现，所以 sg(n) 只会变大不会变小。

如果 b=2 ，那么 sg(n−1)=sg(a) ，则 n 的后继相当于[a,ak]，根据归纳假设

这里面的值都是在 0 到 sg(ak) 之间的，因此sg(n)=sg(n−2)+1。

如果b>2，那么同理可得sg(n)=sg(n−1)+1。

然后找一下具体的式子即可，有了具体的式子就方便找逆映射了。

需要注意很多的细节问题。。。

My Code：

/**
2016 - 08 - 29 下午
Author: ITAK

Motto:

今日的我要超越昨日的我，明日的我要胜过今日的我，
以创作出更好的代码为目标，不断地超越自己。
**/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const LL INF = 1e18+5;
const int MAXN = 1e6+5;
const LL MOD = 1e9+7;
const double eps = 1e-7;
const double PI = acos(-1);
using namespace std;
LL Scan_LL()///输入外挂
{
LL res=0,ch,flag=0;
if((ch=getchar())=='-')
flag=1;
else if(ch>='0'&&ch<='9')
res=ch-'0';
while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
res=res*10+ch-'0';
return flag?-res:res;
}
int Scan_Int()///输入外挂
{
int res=0,ch,flag=0;
if((ch=getchar())=='-')
flag=1;
else if(ch>='0'&&ch<='9')
res=ch-'0';
while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
res=res*10+ch-'0';
return flag?-res:res;
}
void Out(LL a)///输出外挂
{
if(a>9)
Out(a/10);
putchar(a%10+'0');
}
LL a[MAXN], sg[MAXN];
int main()
{
int n;
LL k;
while(~scanf("%d%lld",&n,&k))
{
LL ans = 0, tmp, ret, x;
int j = -1;
memset(a, 0, sizeof(a));
for(int i=1; i<=n; i++)
{
x = Scan_LL();
a[i] = x;
if(x == 1)
continue;
tmp = x;
LL tp1 = x/k;
LL tp2 = x%k;
while(tmp)
{
if(tp2 == 0)
{
tp1--;
tp2 = k;
sg[i] = (tp1*(k-1)+tp2-1);
///cout<<"a["<<i<<"] ="<<a[i]<<endl;
ans ^= sg[i];
break;
}
else if(tp2 > 1)
{
sg[i] = (tp1*(k-1)+tp2-1);
ans ^= sg[i];
break;
}
else
{
tmp = (tmp-1)/k;
tp1 = tmp/k;
tp2 = tmp%k;
}
}
}
if(ans)
{
tmp = ans;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(a[i] == 1)
continue;
LL p = (tmp ^ sg[i]);
LL q = (p-1)/(k-1)*k+(p-1)%(k-1)+2;
if(p == 0)
q = 1;
ret = q;
while(1)
{
if(ret>=a[i] || ret<0)
break;
LL tp = a[i]/k;
if(a[i] % k)
tp++;
if(ret >= tp)
{
j = i;
goto endW;
}
ret = ret*k+1;
}
}
endW:;
printf("Alice %d %lld\n",j, ret);
}
else
puts("Bob");
}
return 0;
}