Vijos P1008 篝火晚会(组合数学,置换群)
2016-08-28 21:49
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P1008篝火晚会
Accepted
标签:组合数学NOIP提高组2005
佳佳刚进高中,在军训的时候,由于佳佳吃苦耐劳,很快得到了教官的赏识,成为了“小教官”。在军训结束的那天晚上,佳佳被命令组织同学们进行篝火晚会。一共有n个同学,编号从1到n。一开始,同学们按照1,2,……,n的顺序坐成一圈,而实际上每个人都有两个最希望相邻的同学。如何下命令调整同学的次序,形成新的一个圈,使之符合同学们的意愿,成为摆在佳佳面前的一大难题。
佳佳可向同学们下达命令,每一个命令的形式如下:
(b1, b2,... bm -1, bm)
这里m的值是由佳佳决定的,每次命令m的值都可以不同。这个命令的作用是移动编号是b1,b2,…… bm –1,bm的这m个同学的位置。要求b1换到b2的位置上,b2换到b3的位置上,……,要求bm换到b1的位置上。
执行每个命令都需要一些代价。我们假定如果一个命令要移动m个人的位置,那么这个命令的代价就是m。我们需要佳佳用最少的总代价实现同学们的意愿,你能帮助佳佳吗?
对于30%的数据,n <= 1000;
对于全部的数据,n <= 50000。
样例输入1[复制]
样例输出1[复制]
1s
NOIp2005 第三题
1)如样例,有4个同学,按1,2,3,4编号。
给出4位同学最希望相邻的两个同学的编号
比如第1位同学希望与3和4相邻,第2位同学希望与4和3相邻,……
如果能调整到让所有人满意,则输出要调整的人数,否则输出
2)如上,写出初始序列和目标序列如下
初始序列:1,2,3,4
目标序列:1,3,2,4(注意是环状)
3)观察上面的两组序列,可看出只需要移动其中的两人即可,也就是移动不在目标位的人
4)问题是如何生成目标序列?
5)将1放在第一位,则下一位就应该是1所希望的人,用b[i]表示目标序列,g[i][0]和g[i][1]表示第i个同学最希望相邻的同学
则有:b[0]=0;b[1]=g[0][0];
6)对于目标序列的其他位,都依次判断左边的同学是不是两个最希望相邻的同学之一,如果是,则把另一位同学排在右边,如果两个都不是,则意味着最后无论怎样调整都不行
7)有目标序列后,只要顺序和逆序分别求目标序列和初始序列的差值,并找出其中出现最多的数即可,比如:
初始序列:1,2,3,4
目标序列:1,3,2,4
----------------------
差值: 0,1,3,0
用目标序列减初始序列,为了避免出现负号,可将负的差值+n,再%n,也就是环状的效果
8)上述差值中,0出现得最多,记录其出现的人数,那么n-最多的差值数,则为要调整的人数
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标签:组合数学NOIP提高组2005
描述
佳佳刚进高中,在军训的时候,由于佳佳吃苦耐劳,很快得到了教官的赏识,成为了“小教官”。在军训结束的那天晚上,佳佳被命令组织同学们进行篝火晚会。一共有n个同学,编号从1到n。一开始,同学们按照1,2,……,n的顺序坐成一圈,而实际上每个人都有两个最希望相邻的同学。如何下命令调整同学的次序,形成新的一个圈,使之符合同学们的意愿,成为摆在佳佳面前的一大难题。佳佳可向同学们下达命令,每一个命令的形式如下:
(b1, b2,... bm -1, bm)
这里m的值是由佳佳决定的,每次命令m的值都可以不同。这个命令的作用是移动编号是b1,b2,…… bm –1,bm的这m个同学的位置。要求b1换到b2的位置上,b2换到b3的位置上,……,要求bm换到b1的位置上。
执行每个命令都需要一些代价。我们假定如果一个命令要移动m个人的位置,那么这个命令的代价就是m。我们需要佳佳用最少的总代价实现同学们的意愿,你能帮助佳佳吗?
对于30%的数据,n <= 1000;
对于全部的数据,n <= 50000。
格式
输入格式
输入的第一行是一个整数n(3 <= n <= 50000),表示一共有n个同学。其后n行每行包括两个不同的正整数,以一个空格隔开,分别表示编号是1的同学最希望相邻的两个同学的编号,编号是2的同学最希望相邻的两个同学的编号,……,编号是n的同学最希望相邻的两个同学的编号。输出格式
输出包括一行,这一行只包含一个整数,为最小的总代价。如果无论怎么调整都不能符合每个同学的愿望,则输出-1。
样例1
样例输入1[复制]
4 3 4 4 3 1 2 1 2
样例输出1[复制]
2
限制
1s
来源
NOIp2005 第三题
思路
1)如样例,有4个同学,按1,2,3,4编号。给出4位同学最希望相邻的两个同学的编号
比如第1位同学希望与3和4相邻,第2位同学希望与4和3相邻,……
如果能调整到让所有人满意,则输出要调整的人数,否则输出
2)如上,写出初始序列和目标序列如下
初始序列:1,2,3,4
目标序列:1,3,2,4(注意是环状)
3)观察上面的两组序列,可看出只需要移动其中的两人即可,也就是移动不在目标位的人
4)问题是如何生成目标序列?
5)将1放在第一位,则下一位就应该是1所希望的人,用b[i]表示目标序列,g[i][0]和g[i][1]表示第i个同学最希望相邻的同学
则有:b[0]=0;b[1]=g[0][0];
6)对于目标序列的其他位,都依次判断左边的同学是不是两个最希望相邻的同学之一,如果是,则把另一位同学排在右边,如果两个都不是,则意味着最后无论怎样调整都不行
7)有目标序列后,只要顺序和逆序分别求目标序列和初始序列的差值,并找出其中出现最多的数即可,比如:
初始序列:1,2,3,4
目标序列:1,3,2,4
----------------------
差值: 0,1,3,0
用目标序列减初始序列,为了避免出现负号,可将负的差值+n,再%n,也就是环状的效果
8)上述差值中,0出现得最多,记录其出现的人数,那么n-最多的差值数,则为要调整的人数
代码
#include <iostream> #include <cstdio> #define N 50002 using namespace std; int n,g [2],b ,f [2],ans; int init() { b[0]=0; //目标序列的第1个同学编号为1 b[1]=g[0][0]; //目标序列的第2个同学为G[0][0],也就是编号为1的同学最希望相邻的第一个同学编号, for(int i=1;i<n-1;i++) //目标序列的前一个同学如果正好是第i个同学所希望相邻的第一个 if(b[i-1]==g[b[i]][0]) //则其右边则是第i个同学所希望相邻的另一个同学 b[i+1]=g[b[i]][1]; else if(b[i-1]==g[b[i]][1]) b[i+1]=g[b[i]][0]; else return 0; //如果两边都不符合要求,则意味着无法调整 return 1; } int solve() //比较目标环与初始环最多有几个位置的元素相同,并求出结果 { for(int i=0;i<n;i++) { f[(b[i]-i+n)%n][0]++; f[(b[n-1-i]-i+n)%n][1]++; } for(int i=0;i<n;i++) ans=max(ans,max(f[i][0],f[i][1])); return n-ans; } int main() { scanf("%d",&n); //输入人数 for(int i=0;i<n;i++) { scanf("%d%d",&g[i][0],&g[i][1]); //输入第i个同学最希望相邻的两个同学的编号 g[i][0]--; //将编号改为从0开始的序号,方便后面取模 g[i][1]--; } if(init()) //如果能够调整 printf("%d\n",solve()); //则输出需要调整的人数 else printf("-1\n"); return 0; }
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