关于线性回归和逻辑回归一些深入的思考

　　在学习完 Andrew Ng 教授的机器学习课程，和多方查阅大神的博客，本以为很简单的逻辑回归，在深思其细节的时候，很多容易让人不理解，甚至是疑惑的地方，这几天一直冥想其中的缘由。

1、 为什么是逻辑回归？

　　都说线性回归用来做回归预测，逻辑回归用于做二分类，一个是解决回归问题，一个用于解决分类问题。但很多人问起逻辑回归和线性回归的区别，很多人会大喊一声（也可能是三声）：逻辑回归就是对线性回归做了一个压缩，将y 的阈值从y∈(+∞,−∞)压缩到(0,1)。那么问题来了，问什么仅仅做一个简单的压缩，就将回归问题变成了分类问题？里面蕴含着本质？

　　首先要从数据说起，线性回归的样本的输出，都是连续值，y∈(+∞,−∞)而，逻辑回归中y∈{0,1}，只能取0和1。对于拟合函数也有本质上的差别：

　　线性回归：f(x)=θTX=θ1x1+θ2x2+⋯+θnxn

　　逻辑回归：f(x)=p(y=1∣x;θ)=g(θTX)，其中，g(z)=11+e−z

可以看出，线性回归的拟合函数，的确是对f(x)的输出变量y的拟合，而逻辑回归的拟合函数是对为1类的样本的概率的拟合。

2、那么，为什么要以1类样本的概率进行拟合呢，为什么可以这样拟合呢？

　　首先，logstic 函数的本质说起。若要直接通过回归的方法去预测二分类问题， y 到底是0类还是1类，最好的函数是单位阶跃函数。然而单位阶跃函数不连续（GLM 的必要条件），而 logsitic 函数恰好接近于单位阶跃函数，且单调可微。于是希望通过该复合函数去拟合分类问题：

　　y=11+e−θTX

于是有：

　　lny1−y=θTX

发现如果我们假设 y=p(y为1类∣x;θ) 作为我们的拟合函数，等号左边的表达式的数学意义就是1类和0类的对数几率（log odds）。这个表达式的意思就是：用线性模型的预测结果去逼近1类和0类的几率比。于是，θTX=0就相当于是1类和0类的决策边界：

　　当θTX>0，则有y>0.5；若θTX→+∞ ,则y→1 ，即y 为1类;

　　当θTX<0，则有y<0.5 ; 若θTX→−∞，则y→0，即 y 为0类。

　　

　　这个时候就能看出区别来了，在线性回归中θTX为预测值的拟合函数；而在逻辑回归中θTX=0为决策边界。