背包问题（动态规划）

背包问题

01背包:
有N件物品和一个重量为M的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
完全背包:
有N种物品和一个重量为M的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。
多重背包:
有N种物品和一个重量为M的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

01背包问题
 
    在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 
问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

1.     V(i,0)=V(0,j)=0 

2.    （1）  V(i,j)=V(i-1,j)  j<wi  

       （2）V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) } j>wi

      (1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；

      (2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：

             (a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; 

             (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

#include <iostream>
using namespace std;

int V[200][200];   //前 i个物品 装入 容量为j 的背包中获得的最大价值
int max(int a,int b)
{
if(a>=b)
return a;
else return b;
}

int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)   //函数返回容量为 C的背包最多能装多少价值物品
{
int i,j;

for(i=0;i<=n;i++)
V[i][0]=0;
for(j=0;j<=C;j++)
V[0][j]=0;

for(i=0;i<=n-1;i++)
for(j=0;j<=C;j++)
if(j<w[i]) //如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；
V[i][j]=V[i-1][j];
else//如果第i个物品的重量小于背包的容量,则 取两种情况的最大值为最优解
V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
j=C;
for(i=n-1;i>=0;i--)
{
if(V[i][j]>V[i-1][j])   //选中的物品标记为1
{
x[i]=1;
j=j-w[i];
}
else
x[i]=0;
}
cout<<"选中的物品是:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
cout<<x[i]<<" ";
cout<<endl;
return V[n-1][C];

}

int main()
{
int s;//获得的最大价值
int w[15];//物品的重量
int v[15];//物品的价值
int x[15];//物品的选取状态
int n,i;
int C;//背包最大容量
n=5;
printf("请输入背包的最大容量:\n");
cin>>C;

printf("输入物品数:\n");
cin>>n;
cout<<"请分别输入物品的重量:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
cin>>w[i];

cout<<"请分别输入物品的价值:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
cin>>v[i];

s=KnapSack(n,w,v,x,C);

printf("最大物品价值为:\n");
cout<<s<<endl;

return 0;
}

呵呵，未完待续