精确表达浮点数
2016-08-26 16:22
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在计算机中,使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果,最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如:
0.9=9/10
0.333(3)=1/3(括号中的数字表示是循环节)
当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如:0.333(3)=1/3=3/9
给定一个有限小数或者无限循环小数,你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢?如果输入为循环小数,循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据,如0.3、0.30、0.3(000)、0.3333(3333)、……
分析与解法
拿到这样一个问题,我们往往会从最简单的情况入手,因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和,不妨只考虑大于0,小于1的纯小数,而且暂时不考虑分子和分母的约分,先设法将其表示为分数形式,然后再进行约分。题目中输入的小数,要么为有限小数X=0.a1a2…an,要么为无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm),X的表示式中的字母a1a2…an,b1b2…bm都是0~9的数字,括号部分(b1b2…bm)表示循环节,我们需要处理的就是以上两种情况。
对于有限小数X=0.a1a2…an来说,这个问题比较简单,X就等于(a1a2…an)/10^n。
对于无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm)来说,其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分,我们可以做如下的转换:
X=0.a1a2…an(b1b2…bm)
=>10^n*X=a1a2…an.(b1b2…bm)
=>10^n*X=a1a2…an+0.(b1b2…bm)
=>X=(a1a2…an+0.(b1b2…bm))/10^n
对于整数部分a1a2…an,不需要做额外处理,只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分,可以采用如下方式进行处理:
令Y=0.b1b2…bm,那么
10^m*Y=b1b2…bm.(b1b2…bm)
=>10^m*Y=b1b2…bm+0.(b1b2…bm)
=>10^m*Y-Y=b1b2…bm
=>Y=b1b2…bm/(10^m-1)
将Y代入前面的X的等式可得:
X=(a1a2…an+Y)/10^n
=(a1a2…an+b1b2…bm/(10^m-1))/10^n
=((a1a2…an)*(10^m-1)+(b1b2…bm))/((10^m-1)*10^n)
至此,便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示,但是此时分母未必是最简的,接下来的任务就是让分母最小,即对分子和分母进行约分,这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B,可以简化成(A/Gcd(A,B))/(B/Gcd(A,B)),其中Gcd函数为求A和B的最大公约数,这就涉及本书中的算法(2.7节“最大公约数问题”),其中有很巧妙的解法,请读者阅读具体的章节,这里就不再赘述。
综上所述,先求得小数的分数表示方式,再对其分子分母进行约分,便能够得到分母最小的分数表现形式。
例如,对于小数0.3(33),根据上述方法,可以转化为分数:
0.3(33)
=(3*(10^2-1)+33)/((10^2-1)*10)
=(3*99+33)/990
=1/3
对于小数0.285714(285714),我们也可以算出:
0.285714(285714)
=(285714*(10^6-1)+285714)/((10^6-1)*10^6)
=(285714*999999+285714)/999999000000
=285714/999999
=2/7
程序如下:(对程序进行了修改,之前没有考虑,有限小数的情况,特此加上)
结果如下:
2/7
1/3
13/25
0.9=9/10
0.333(3)=1/3(括号中的数字表示是循环节)
当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如:0.333(3)=1/3=3/9
给定一个有限小数或者无限循环小数,你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢?如果输入为循环小数,循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据,如0.3、0.30、0.3(000)、0.3333(3333)、……
分析与解法
拿到这样一个问题,我们往往会从最简单的情况入手,因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和,不妨只考虑大于0,小于1的纯小数,而且暂时不考虑分子和分母的约分,先设法将其表示为分数形式,然后再进行约分。题目中输入的小数,要么为有限小数X=0.a1a2…an,要么为无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm),X的表示式中的字母a1a2…an,b1b2…bm都是0~9的数字,括号部分(b1b2…bm)表示循环节,我们需要处理的就是以上两种情况。
对于有限小数X=0.a1a2…an来说,这个问题比较简单,X就等于(a1a2…an)/10^n。
对于无限循环小数X=0.a1a2…an(b1b2…bm)来说,其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分,我们可以做如下的转换:
X=0.a1a2…an(b1b2…bm)
=>10^n*X=a1a2…an.(b1b2…bm)
=>10^n*X=a1a2…an+0.(b1b2…bm)
=>X=(a1a2…an+0.(b1b2…bm))/10^n
对于整数部分a1a2…an,不需要做额外处理,只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分,可以采用如下方式进行处理:
令Y=0.b1b2…bm,那么
10^m*Y=b1b2…bm.(b1b2…bm)
=>10^m*Y=b1b2…bm+0.(b1b2…bm)
=>10^m*Y-Y=b1b2…bm
=>Y=b1b2…bm/(10^m-1)
将Y代入前面的X的等式可得:
X=(a1a2…an+Y)/10^n
=(a1a2…an+b1b2…bm/(10^m-1))/10^n
=((a1a2…an)*(10^m-1)+(b1b2…bm))/((10^m-1)*10^n)
至此,便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示,但是此时分母未必是最简的,接下来的任务就是让分母最小,即对分子和分母进行约分,这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B,可以简化成(A/Gcd(A,B))/(B/Gcd(A,B)),其中Gcd函数为求A和B的最大公约数,这就涉及本书中的算法(2.7节“最大公约数问题”),其中有很巧妙的解法,请读者阅读具体的章节,这里就不再赘述。
综上所述,先求得小数的分数表示方式,再对其分子分母进行约分,便能够得到分母最小的分数表现形式。
例如,对于小数0.3(33),根据上述方法,可以转化为分数:
0.3(33)
=(3*(10^2-1)+33)/((10^2-1)*10)
=(3*99+33)/990
=1/3
对于小数0.285714(285714),我们也可以算出:
0.285714(285714)
=(285714*(10^6-1)+285714)/((10^6-1)*10^6)
=(285714*999999+285714)/999999000000
=285714/999999
=2/7
程序如下:(对程序进行了修改,之前没有考虑,有限小数的情况,特此加上)
public class Float { public static void main(String[] args) { String str = "0.285714(285714)"; str =compute(str); System.out.println(str); str = "0.3(33)"; str =compute(str); System.out.println(str); str = "0.52"; str = compute(str); System.out.println(str); } public static String compute(String str) { long sum1 =0; long sum2 =0; int n=0; int m=0; long fenzi=0; long fenmu=0; long km=1; long kn=1; for(int i=2;i<str.length();i++) { if(str.charAt(i)=='(') { break; } else { sum1 = sum1 *10+str.charAt(i)-'0'; } n++; } // System.out.println("n="+n); for(int i=n+3;i<str.length();i++) { if(str.charAt(i)==')') { break; } else { sum2 = sum2 *10+str.charAt(i)-'0'; } m++; } // System.out.println("m="+m); // System.out.println(sum1+" "+sum2); for(long i=0;i<m;i++) km=km*10; for(long i=0;i<n;i++) kn=kn*10; // System.out.println("km ="+km+" kn="+kn); if(km==1) { fenzi = sum1; fenmu = kn; long g = gcd(fenzi,fenmu); fenzi = fenzi/g; fenmu = fenmu/g; } else { fenzi = sum1*(km-1)+sum2; fenmu = (km-1)*kn; // System.out.println(fenzi+" "+fenmu); long w = gcd(fenzi,fenmu); // System.out.println(w); fenzi = fenzi/w; fenmu = fenmu/w; } str = ""+fenzi+"/"+fenmu; // System.out.println(fenzi+"/"+fenmu); return str; } public static long gcd(long a,long b) { if(b==0) return a; if(a<0) return gcd(-a,b); if(b<0) return gcd(a,-b); return gcd(b,a%b); } }
结果如下:
2/7
1/3
13/25
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