剖析连续时间傅里叶变换

前言　

　　学习傅里叶级数之后，我们得到一个结论，任何满足狄利克雷条件（Dirichlet Conditions）的周期信号f(t)可以分解为一串虚指数信号的线性加权和，即傅里叶级数。然而实际上，我们需要处理的信号大多为非周期信号。因此，要想对非周期信号进行频域分析，我们需要得到一个属于非周期信号的“傅里叶级数”。

　　在周期信号的分解中，我们选择信号的分解区间为(a−T/2,a+T/2)。当周期信号的周期T→∞时，周期信号就转换为非周期信号（周期T→∞），此时分解区间为(−∞,+∞)。

　　为了能够透彻整个傅里叶级数到傅里叶变换的过程，笔者先从黎曼积分讲起。然后再推导非周期信号的傅里叶变换公式。

黎曼积分

　　黎曼是德国数学家，数学分析大师，物理学家，被后人誉为定积分之父。对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼几何，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。



　　如何求函数f(t)在区间[a,b]上的面积呢？于是，黎曼想到将区间[a,b]划分为无数个子区间，设第i个区间的宽度为Δxi，然后在该区间上任取一点ξi (ξi∈[xi−1,xi])，用f(ξi)Δxi来表示该小柱条的面积。令λ=max{Δxi}，当λ→0时，函数f(t)在区间[a,b]上的面积可以表示为

S=limλ→0∑i=1nf(ξi)Δxi

通常采用等分切割处理，并选择区间最右端的函数值为小柱条的高，因此

S=limn→∞∑i=1nf(a+b−ani)b−an

　　为了定义这个运算，黎曼翻阅书籍，由于该运算是极限求和，因此选取了求和单词Sum的首字母，并对其进行拉长也就是现在的积分符号∫。因此上式写为

S=∫baf(x)dx

心细的朋友应该会发现，即使λ→0，但还是存在误差，设每一个小柱条与该区间实际面积之差为Δsi，那么总体误差为

ΔS=∑i→∞Δsi

　　无穷个无穷小之和可能不为无穷小，因此式子的S=∫baf(x)dx的成立还需证明ΔS→0。这种工作一般需要数学家去完成，这里不进行扩展。至此，我们有了极限求和的思想。

再谈傅里叶级数

如图所示，周期性方波信号，其周期为T，单周期内，方波持续时间为2τ，讨论周期T对傅里叶级数Fn的影响。



该方波信号的傅里叶级数Fn

Fn=τTSa(nωoτ2)

设τ=1/2，讨论周期T对Fn的影响

【实验程序】

clear all
T=2;                  %信号周期
tau=1/2;              %方波持续时间
t=-20*pi:0.01:20*pi;  %包络显示范围
wo=2*pi/T;            %角频率
nwo=-20*pi:wo:20*pi;  %
Fn=(tau/T).*sinc(nwo*tau/(2*pi));  %傅里叶级数谱线
f=(tau/T).*sinc(t*tau/(2*pi));     %包络
stem(nwo,Fn)          %绘制傅里叶级数谱线
hold on
plot(t,f,'--r');      %绘制保罗谱线
hold on
title(strcat('T=',num2str(T)));
hold on

（1）T=2，ωo=π



（2）T=4，ωo=π/2



（3）T=8，ωo=π/4



（4）T=16，ωo=π/8



（5）T=32，ωo=π/16



　　从上述实验可以看出，随着周期T的增大，频率谱线之间的间距逐渐减小，谱线的幅度逐渐减小。当T→∞时，频率谱线趋于连续谱线，谱线的幅度趋于0。然而，研究幅度为0的频率谱线是没有意义的，这又要如何处理呢？

从傅里叶级数到傅里叶变换

对于周期T→∞的周期信号f(t)，其傅里叶级数为

Fn=limT→∞1T∫Tf(t)e−jnωodt

实际信号处理中，f(t)为有限长信号，因此∫Tf(t)e−jnωodt可以看做是一个有界常量，那么

Fn=limT→∞1T∫Tf(t)e−jnωodt就是一个 无穷小量（无穷小乘以有界常量仍为无穷小）。因此，在等式两端同时乘以T，有

TFn=limT→∞∫Tf(t)e−jnωodt

记X(jw)=TFn，当T→∞时，nωo→ω，因此

X(jw)=∫+∞−∞f(t)e−jωtdt

【注】这里为什么要记作X(jw)，主要是为了和傅里叶级数Fn相区别，Fn是离散谱线，而X(jw)是连续谱线。另外，傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式，即s=(σ+jω)|σ=0时，拉普拉斯变换就转换成了傅里叶变换。

现在推导傅里叶逆变换

f(t)=∑n=−∞+∞Fnejnωot=∑n=−∞+∞X(jω)1Tejnωot=12π[∑n=−∞+∞X(jω)ejnωot]2πT

由于T→∞，因此2πT=wo→dw（这里的ωo就是小柱条的宽），nωo→w，由此前黎曼积分的知识，此时求和变成了积分

f(t)=12π[∑n=−∞+∞X(jω)ejnωot]2πT=12π∫+∞−∞X(jω)ejωtdω

因此，信号f(t)的傅里叶变换对为

f(t)=12π∫+∞−∞X(jω)ejωtdωX(jω)=∫+∞−∞f(t)e−jωtdt

　　至此，连续时间频域分析得到了统一，我们可以用频域分析法来分析信号。我们称傅里叶级数为频谱，称傅里叶变换为频谱密度，两者统称为频谱。

周期信号的傅里叶变换

一个周期为T的周期函数f(t)，可以展开成傅里叶级数

f(t)=∑n=−∞+∞Fne−jnωot

对两边取傅里叶变换

F[f(t)]=F[∑n=−∞+∞Fne−jnωot]=∑n=−∞+∞FnF[e−jnωot]

由于F[e−jnωot]=2πδ(ω−ωo)，因此

F[f(t)]=2π∑n=−∞+∞Fnδ(ω−ωo)