优化DP的奇淫技巧

DP是搞OI不可不学的算法。一些丧心病狂的出题人不满足于裸的DP，一定要加上优化才能A掉。

故下面记录一些优化DP的奇淫技巧。
OJ 1326
裸的状态方程很好推。
f[i]=max(f[j]+sum[i]-sum[j]-100*I) (1<=j<i&&f[j]>=100*i)
然后把无关于j的提出来。
f[i]=max(f[j]-sum[j])+sum[i]-100*i;
好的，现在只需要把在O(1)的时间内求出max(f[j]-sum[j])就是坠吼得。
考虑两个决策f[j] f[k](j>k)
j决策比k决策优当且仅当
f[j]-sum[j]>=f[k]-sum[k]
f[j]-f[k]>=sum[j]-sum[k]
然后单调队列加成。O(N)就能求出答案。

//OJ 1326
//by Cydiater
//2016.8.8
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
const int MAXN=2e6+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
char ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll N,M,f[MAXN],q[MAXN],head=1,tail=0,sum[MAXN];
namespace solution{
void init(){
N=read();M=read();
memset(sum,0,sizeof(sum));
up(i,1,N)sum[i]=read()+sum[i-1];
}
void dp(){
memset(f,0,sizeof(f));
f[0]=M;q[++tail]=0;
up(i,1,N){
while(head<tail&&f[q[head]]<100*i)head++;
int id=q[head];
f[i]=f[id]+sum[i]-sum[id]-i*100;
while(head<=tail&&f[i]-f[q[tail]]>=sum[i]-sum[q[tail]])tail--;
q[++tail]=i;
}
}
void output(){
printf("%I64d\n",f
);
}
}
int main(){
//freopen("input.in","r",stdin);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

OJ1327

和上一题差不多，对于每个i都要维护一个单调队列

//OJ 1327
//by Cydiater
//2016.8.8
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <ctime>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
const int MAXN=1e4+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int N,M,S,u[MAXN],d[MAXN],q[105][MAXN],head[105],tail[105],f[105][MAXN];
namespace solution{
void init(){
memset(f,10,sizeof(f));
N=read();M=read();S=read();
up(i,1,N)u[i]=read();
up(i,1,N)d[i]=read();
}
void dp(){
f[0][0]=0;
up(i,0,100)head[i]=1,tail[i]=0;
q[0][++tail[0]]=0;
up(i,1,N)down(j,S,0){
while(head[i-1]<tail[i-1]&&q[i-1][head[i-1]]>u[i]+j)head[i-1]++;
f[i][j]=f[i-1][q[i-1][head[i-1]]]+(M-d[i])*q[i-1][head[i-1]]+(u[i]+j)*d[i];
while(f[i][q[i][tail[i]]]+(M-d[i+1])*q[i][tail[i]]>=f[i][j]+(M-d[i+1])*j&&head[i]<=tail[i])tail[i]--;
q[i][++tail[i]]=j;
}
}
void output(){
printf("%d\n",f
[0]);
}
}
int main(){
freopen("input.in","r",stdin);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

OJ 1328
原来这就是斜率优化

这道题的dp次序可以是升序的或者是降序的，这道题如果比较过升序和降序的DP方程的话显然降序是比较简便的DP次序。

然后可以得到这样的方程。T F表示前缀和，从N->1

简化DP方程

那么设置决策x<y
如果x决策比y决策优，那么

这样已经是化简的极限了，对于左边那一坨类似于斜率的东西，来进行斜率优化
设i<x<y<z<=N
设g(x,y)=(f[x]-[y])/(T[x]-T[y])
如果g(x,y)<g(y,z) 那么y决策没有x和z决策优
因为如果
1.g(x,y)<=F[i] ==> x比y优
2.g(y,z) >F[i] ==>z比y优

然后维护一个队列就行了

//OJ 1328
//by Cydiater
//2016.8.9
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
const int MAXN=5005;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int N,S,F[MAXN],T[MAXN],a[MAXN],b[MAXN],f[MAXN],q[MAXN],head,tail;
namespace solution{
void init(){
N=read();S=read();
up(i,1,N){
a[i]=read();b[i]=read();
}
F[N+1]=T[N+1]=0;
down(i,N,1){
T[i]=T[i+1]+a[i];
F[i]=F[i+1]+b[i];
}
}
inline double K(int x,int y){return 1.0*(f[x]-f[y])/(1.0*(T[x]-T[y]));}
void dp(){
head=1;tail=0;q[++tail]=0;
down(i,N,1){
while(head<tail&&K(q[head+1],q[head])<F[i])head++;
f[i]=f[q[head]]-T[q[head]]*F[i]+(T[i]+S)*F[i];
while(head<tail&&K(i,q[tail])<K(q[tail],q[tail-1]))tail--;
q[++tail]=i;
}
}
void output(){
cout<<f[1]<<endl;
}
}
int main(){
//freopen("input.in","r",stdin);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

BZOJ 1010
同样是斜率优化的经典题目。题解都有，不放了

//OJ 1329
//by Cydiater
//2016.8.9
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <string>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
#define FILE "bzoj_1010"
const int MAXN=5e4+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
char ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll N,L,a[MAXN],f[MAXN],q[MAXN],head=1,tail=0;
namespace solution{
inline double Q(int x){return a[x]+1.0*x;}
inline double P(int x){return Q(x)-L-1;}
inline double col(int x,int y){
double tmp2=f[y]+Q(y)*Q(y);
double tmp1=f[x]+Q(x)*Q(x);
return (tmp2-tmp1)/(Q(y)-Q(x));
}
void init(){
N=read();L=read();
memset(a,0,sizeof(a));
up(i,1,N)a[i]=read()+a[i-1];
}
void dp(){
q[++tail]=0;
up(i,1,N){
while(head<tail&&col(q[head],q[head+1])<2*P(i))head++;
f[i]=f[q[head]]+(P(i)-Q(q[head]))*(P(i)-Q(q[head]));
while(head<tail&&col(q[tail-1],q[tail])>col(q[tail],i))tail--;
q[++tail]=i;
}
}
void output(){
cout<<f
<<endl;
}
}
int main(){
//freopen("input.in","r",stdin);
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

OJ1330
依然是人民群众喜闻乐见的斜率优化。
刚开始以为土地顺序必须是固定的...
然后就很傻叉的推了半小时DP方程，无果
去搜了搜题解才发现土地顺序并不是固定的..

不废话，说正解
首先排序，以leftt为第一关键字降序，rightt为第二关键字升序/降序
然后就能够找出所有可能对答案有贡献的土地
这时候对于所有的leftt显然是降序，对于所有的rightt显然是升序
然后就可以得到
f[i]=min{f[j]+leftt[j+1]*rightt[i]}
最后推出来:
(f[y]-f[x])/(leftt[x+1]-leftt[y+1])<=rightt[i] x<y
y比x优，然后维护一个下凸包就行了。

//OJ 1330
//by Cydiater
//2016.8.9
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
typedef pair<ll,ll> pll;
const int MAXN=5e4+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
char ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll N,cnt=0,q[MAXN],head=1,tail=0,f[MAXN];
pll t[MAXN],a[MAXN];
namespace solution{
inline bool cmp(pll x,pll y){return x.first==y.first?x.second>y.second:x.first>y.first;}
inline double col(int x,int y){
return 1.0*(f[y]-f[x])/(1.0*(a[x+1].first-a[y+1].first));
}
void init(){
N=read();
up(i,1,N){
t[i].first=read();
t[i].second=read();
}
sort(t+1,t+N+1,cmp);
ll last=0;
t[0].first=0;t[0].second=0;
up(i,1,N){
if(t[i].first<=t[last].first&&t[i].second<=t[last].second)continue;
else{
a[++cnt]=t[i];
last=i;
}
}
N=cnt;
}
void dp(){
q[++tail]=0;
up(i,1,N){
while(head<tail&&col(q[head],q[head+1])<=a[i].second)head++;
f[i]=f[q[head]]+a[q[head]+1].first*a[i].second;
while(head<tail&&col(q[tail],i)<=col(q[tail-1],q[tail]))tail--;
q[++tail]=i;
}
}
void output(){
cout<<f
<<endl;
}
}
int main(){
//freopen("input.in","r",stdin);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

BZOJ1911
DP斜率优化的套路貌似很固定的样子

提出决策相关的式子，然后各种变形，最后得出
(f(y)-f(x))/(s(y)-s(x))<p(i)之类的东西就行了

//OJ 1661
//by Cydiater
//2016.8.10
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
const int MAXN=1e6+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
char ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll N,A,B,C,sum[MAXN],q[MAXN],head,tail,f[MAXN];
namespace solution{
inline double F(int x){return f[x]+A*sum[x]*sum[x]-B*sum[x];}
inline double sqr(ll x){return x*x;}
void init(){
memset(sum,0,sizeof(sum));
memset(f,0,sizeof(f));
N=read();A=read();B=read();C=read();
up(i,1,N)sum[i]=read()+sum[i-1];
}
void dp(){
head=1;tail=0;q[++tail]=0;
up(i,1,N){
while(head<tail&&F(q[head+1])-F(q[head])>sum[i]*2*A*(sum[q[head+1]]-sum[q[head]]))head++;
f[i]=f[q[head]]+A*(sum[i]-sum[q[head]])*(sum[i]-sum[q[head]])+B*(sum[i]-sum[q[head]])+C;
while(head<tail&&(F(i)-F(q[tail]))*(sum[q[tail]]-sum[q[tail-1]])>(F(q[tail])-F(q[tail-1]))*(sum[i]-sum[q[tail]]))tail--;
q[++tail]=i;
}
}
void output(){
cout<<f
<<endl;
}
}
int main(){
//freopen("input.in","r",stdin);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

BZOJ1096

又是一道鬼畜的斜率优化..
又是一如既往的推错公式
下面上公式编辑器

//OJ 1662
//by Cydiater
//2016.8.11
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
const int MAXN=1e6+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
char ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll f[MAXN],p[MAXN],s[MAXN],cost[MAXN],N,q[MAXN],head,tail,sum1[MAXN],sum2[MAXN];
namespace solution{
inline double col(int y,int x){
double tmp1=f[x]-f[y]+sum1[x]-sum1[y];
double tmp2=sum2[x]-sum2[y];
return tmp1/tmp2;
}
void init(){
N=read();
up(i,1,N){
s[i]=read();
p[i]=read();
cost[i]=read();
sum1[i]=sum1[i-1]+p[i]*s[i];
sum2[i]=sum2[i-1]+p[i];
}
}
void dp(){
head=1;tail=0;q[++tail]=0;
up(i,1,N){
while(head<tail&&col(q[head],q[head+1])<s[i])head++;
f[i]=cost[i]+s[i]*(sum2[i]-sum2[q[head]])-(sum1[i]-sum1[q[head]])+f[q[head]];
while(head<tail&&col(q[tail-1],q[tail])>col(q[tail],i))tail--;
q[++tail]=i;
}
}
void output(){
cout<<f
<<endl;
}
}
int main(){
freopen("input.in","r",stdin);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

BZOJ 3156
终于自己推出来一道题了

写完这道题豁然开朗了，之前很多不等式没推对一个很重要的原因就是
不等式右边应该是仅与i相关的多项式
不等式右边应该是仅与i相关的多项式
不等式右边应该是仅与i相关的多项式

重要的事情说三遍
下面给出推导：

//BZOJ 3156
//by Cydiater
//2016.8.11
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
const int MAXN=1e6+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
char  ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll N,f[MAXN],q[MAXN],head,tail,a[MAXN];
namespace solution{
inline double col(ll x,ll y){
double tmp1=2*(f[y]-f[x])+(x+y+1)*(y-x);
double tmp2=2*(y-x);
return tmp1/tmp2;
}
void init(){
N=read();
up(i,1,N)a[i]=read();
}
void dp(){
head=1;tail=0;q[++tail]=0;
up(i,1,N){
while(head<tail&&col(q[head],q[head+1])<i)head++;
f[i]=f[q[head]]+(i-q[head])*(i-q[head]-1)/2+a[i];
while(head<tail&&col(q[tail],i)<col(q[tail-1],q[tail]))tail--;
q[++tail]=i;
}
}
void output(){
printf("%lld\n",f
);
}
}
int main(){
//freopen("input.in","r",stdin);
//freopen("out2.out","w",stdout);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

BZOJ 3675

因为这个会出现分母为0的情况..
所以应该把小于变成小于等于..
好坑..

//BZOJ 3675
//by Cydiater
//2016.8.11
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n)       for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n)     for(int i=j;i>=n;i--)
const int MAXN=1e5+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
char  ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll N,K,sum[MAXN],f[MAXN][2],q[MAXN][2],head[205],tail[205];
namespace solution{
inline ll col(int i,int k){return sum[k]*sum[k]-f[k][i];}
inline bool judge(int x,int y,int z,int k){
return (col(k,y)-col(k,x))*(sum[z]-sum[y])>=(col(k,z)-col(k,y))*(sum[y]-sum[x]);
}
void init(){
N=read();K=read();K++;
up(i,1,N)sum[i]=read()+sum[i-1];
}
void dp(){
memset(f,0,sizeof(f));
head[0]=1;tail[0]=0;q[++tail[0]][0]=0;
up(j,1,K){
int k=j%2;
head[k%2]=1;tail[k%2]=0;
up(i,1,N){
while(head[k^1]<tail[k^1]&&col(k^1,q[head[k^1]+1][k^1])-col(k^1,q[head[k^1]][k^1])<sum[i]*(sum[q[head[k^1]+1][k^1]]-sum[q[head[k^1]][k^1]]))head[k^1]++;
f[i][k%2]=f[q[head[k^1]][k^1]][k^1]+sum[q[head[k^1]][k^1]]*(sum[i]-sum[q[head[k^1]][k^1]]);
while(head[k%2]<tail[k%2]&&judge(q[tail[k%2]-1][k%2],q[tail[k%2]][k%2],i,k%2))tail[k%2]--;
q[++tail[k%2]][k%2]=i;
}
}
/*up(i,1,K)up(j,1,N)
printf("i==%d k==%d f[i][k]==%d\n",i,j,f[j][i]);*/
}
void output(){
cout<<f
[K%2]<<endl;
}
}
int main(){
//freopen("input.in","r",stdin);
using namespace solution;
init();
dp();
output();
return 0;
}

今天在做一些奇奇怪怪的东西的时候又遇到了斜率优化，这时候get到一个新的点，斜率优化右边关于i的多项式应该是递增的