【JZOJ 4714】 公约数

Description

给定一个正整数，在[1,n]的范围内，求出有多少个无序数对(a,b)满足gcd(a,b)=a xor b。

对于100%的数据满足n<=10^7

Analysis

正解异常简单。

对于任意数对(a,b)，不妨设a>b。

首先a xor b=c⇒a xor c=b

设a−b=c

gcd(a,b)=gcd(a−b,b)≤a−b

又a xor b≥a−b，这个的证明很简单，二进制拆开看一看就可以发现。

你发现了什么？

gcd(a,b)≤c≤a xor b

又

gcd(a,b)=a xor b=c=a−b

所以我们可以枚举c，因为a是其倍数，所以枚举会快很多。因为gcd(a,a−c)=c，所以只需判断a xor c=a−c=b即可

时间复杂度为O(n/1+n/2+⋯+n/n)=O(nlogn)

Code

225bytes

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
int main()
{
int n,ans=0;
scanf("%d",&n);
fo(i,1,n)
for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
if((i^j)==j-i) ans++;
printf("%d",ans);
}