康托展开

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康托展开
康托展开
用处

公式

例题

代码

康托逆展开
用处

公式

例题

代码

康托展开

众所周知，康托展开是一种简单而又复杂的算法，这里主要介绍的是原始的康托展开及由它衍生出的康托逆展开

康托展开

用处

康托展开常用于处理一些类似于求n全排列中的一个在n的全排列从小到大排序后，其中第几个的问题

公式

X=a
(n-1)!+a[n-1](n-2)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中a[i]为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始），并且

0<=a[i]<i(1<=i<=n)

例题

（JZOJ（初中）2128. 【GDOI2003】排列的编码）

Description

　对于n个元素的排列P=(p1,p2,……,pn)，请你编写一个程序，在不构造出所有排列的情况下，直接输出该排列在按字典序排列的字典中的序数d(p),其中p1∈{1,2,3,…,n},1<=n<=50。例如：n=4,若p=(2,3,4,1)，则d(p)=10;若p=(4,2,1,3),则d(p)=21

Input

每一行对应一个数据，格式为(n,(p1,p2,….,pn))其中n表示排列的元素个数，(p1,p2,…pn)就是这n个元素的某个排列。文件的最后一行只包含“-1”，表示输入文件结束。

Output

　对于每个数据，输出对应的d(p)。所有数据的结果都输出到一行中，用逗号分开。

Sample Input

(4,(3,2,1,4))

(5,(3,5,1,2,4))

-1

Sample Output

15,67

题解：

此题是一道十分明显的康托展开，由于数据过大，需加高精度

代码

（高精度这种东西，就自行脑补~~）

var
i,j,l,n,k,ans:longint;
a:array[1..10] of longint;
jc:array[0..10] of longint;
begin
readln(n,k);\\读入
jc[0]:=1;
for i:=1 to n do
jc[i]:=jc[i-1]*i;\\求阶乘
for i:=1 to n do
read(a[i]);
ans:=0;\\答案清零
for i:=1 to n-1 do
begin
l:=0;
for j:=i+1 to n do
if a[j]<a[i] then inc(l);\\计算有几个比i小
ans:=ans+jc[n-i]*l;\\更新答案
end;
writeln(ans);
end.

康托逆展开

用处

常用于处理类似于求在n的全排列中从小到大第k个的问题

公式

从第n-1位开始，每次用上一次的余数除以i的阶乘（第一次余数为k），设x为除得的商，y为除得的余数

找出没用过的数中第x+1小的数，放进要求的数列中，直到i=1

最后求出的数列就是n全排列中从小到大第k个

例题

暂无

代码

var
bz:array[0..10] of boolean;
i,j,k,n,x,y:longint;
a:array[1..10] of longint;
jc:array[0..10] of longint;
begin
readln(n,k);\\读入
x:=k-1;
jc[0]:=1;
jc[1]:=1;
for i:=2 to n do
jc[i]:=jc[i-1]*i;
for i:=n downto 1 do
begin
bz[0]:=false;
y:=x div jc[i-1];
x:=x mod jc[i-1];\\求商及余数
j:=1;
k:=0;
while 1=1 do\\寻找第y小的数
begin
if not bz[j] then inc(k);
if k=y+1 then break;
inc(j);
end;
a[n-i+1]:=j;\\加入答案
bz[j]:=true;
end;
for i:=1 to n do
write(a[i],' ');
end.