【NOIP2011模拟9.20】序列

【NOIP2011模拟9.20】序列

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Description

给一个长度为N的序列，请删除尽量少的数，使得新序列中满足第I个数为I条件的数最多。

Input

第一行有一个正整数N。

第二行有N个正整数Xi，表示原序列中第I个数为Xi。

Output

只有一个整数ANS,表示最多能有多少个数满足条件。

Sample Input

5

1 1 2 5 4

Sample Output

3

Hint

对于20%的数据：N<=10；

对于50%的数据：N<=1000；

对于80%的数据：N<=100000；

对于100%的数据：N<=500000。

Tips:删除1得到一个新序列1 2 5 4，1、2、4分别在第1、2、4的位置上。

解题思路

DP

设fi表示前i个数可以满足条件的数的最大个数，明显fi=max(fj+1)其中ai<=i , ai-aj <= i-j , aj < ai ,

明显这是一道有条件求最长不下降子序列问题，那么我们应该如何去消去这几个条件呢？

我们先拿bi存排序后的i原来的位置，为了使aj < ai我们以a为第一关键字从小到大排序

为了使ai-aj<=i-j我们以bi-ai为第二关键字从大到小排序

最后拿bi-ai搞一遍最长不下降子序列，如果bi-ai为负数就不加入序列。

这时你应该知道为何我们以bi-ai为第二关键字从大到小排序，这是为了防止同一个数字不断叠加。

然而最长不下降子序列时二次方级别的，我们该如何处理呢？

这时我们就需要一种叫做单调栈的东西，可在nlogn内求解。

单调栈的运算原理如下：

对于一个栈，栈底为0，我们需要将一个数塞进去，假设这个栈为st，这个数为x，我们要找一个位置i，使st[i]< x且st[i-1]>=x这样我们可以将x覆盖到st[i]这个位置上，那么最长不下降子序列的长度就为这个栈的长度。nlogn解决。

#include<cstring>
#include<cstdio>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;

int a[5000001],b[5000001],n,top=0,st[500001];

void q(int,int);
void put(int);

void swap(int &a,int &b){int c=a;a=b;b=c;}

int main()
{
scanf("%d",&n);
st[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
b[i]=i-a[i];
}
q(1,n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(b[i]>=0)put(b[i]);
}
printf("%d",top);
}

void put(int num)
{
int h=0,t=top,w;
w=0;
while(h<=t)
{
int m=(h+t)>>1;
if(st[m]>num)
{
t=m-1;
}else
{
h=m+1;
w=m;
}
}
st[++w]=num;
if(top<w)top=w;
}

void q(int h,int t)
{
int l=h,r=t,m=a[(h+t)>>1],n=b[(h+t)>>1];
do
{
while(a[l]<m || (a[l]==m && b[l]>n))l++;
while(a[r]>m || (a[r]==m && b[r]<n))r--;
if(l<=r)
{
swap(a[l],a[r]);
swap(b[l++],b[r--]);
}
}while(l<=r);
if(h<r)q(h,r);if(l<t)q(l,t);
}