UVALive 7003 A Balance Game on Trees（树形dp）

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UVALive 7003 A Balance Game on Trees

题意：

给一个n个节点和每个节点的儿子的有根树，根为1，初始时树上每个节点的颜色都为白色，现在要将树上的一些节点的颜色染为黑色使得每个白色节点的周围（直接相连的边的另一端）恰好有K个黑色节点，求最多可以保留多少个白色节点？

数据范围：n≤100,K≤10

分析：

每个节点的颜色无非两种：黑色和白色。我们用black[u]和white[u]表示当u分别是黑色和白色时，以u为根的子树最多可以保留多少个白色节点。但是由于白色节点的周围有黑色节点的数量限制，所以对于白色的情况再加一维：white[u][i]当u为白色节点且u的周围有i个黑色节点时的最优解。

从根节点1开始dfs:

black[u]的状态转移：

对于u的每一个儿子v，如果v的儿子数量大于等于K−1，那么如果选择v的颜色为白色（记此时的答案为son），可以得到的最优解是：son=white[v][K−1]+1，否则v节点就不能染为白色（因为v节点的周围不能凑够K个黑色节点），也就是son=0。

black[u]+=max(black[v],son)

white[u][]的状态转移：

这时对于u从它的每个儿子v的状态转移只能v是黑色或者white[v][K]。

考虑white[u][i]的情况，这里需要u的所有儿子中有i个是黑色，其余的是白色。如何求这个最优解呢？如果暴力枚举的话，最坏的时间复杂度是：O(2n)！o(╯□╰)o

我们先把所有儿子全是白色的情况相加记为sum：

sum=∑white[v][K]

再把每个儿子选择黑色和白色的最优解差值记为diff[]：

diff[i]=black[v]−white[v][K]

因为必须有i个儿子是黑色，那么我们选择的这i个儿子必然是diff值最大的前i个！详情看代码～

最坏的时间复杂度是：O(n2logn∗K)，实际运行是应远小于这个复杂度。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 110;

int T, n, K, sum;
int white[MAX_N][15], black[MAX_N], vis[MAX_N], diff[MAX_N];
vector<int> vec[MAX_N];

void dfs_son(int u, int p)
{
int size = vec[u].size();
for (int i = 0; i < size; ++i) {
int v = vec[u][i];
dfs_son(v, u);
}
sum = 0;
for (int i = 0; i < size; ++i) {
int v = vec[u][i];
int son = 0;
if (vec[v].size() >= K - 1) son = white[v][K - 1] + 1;
black[u] += max(son, black[v]);

son = white[v][K];
sum += son;
diff[i] = black[v] - son;
}
sort(diff, diff + size);
for (int i = 1; i <= K; ++i) {
if (i > size) break;
white[u][i] = sum;
for (int j = size - 1; j >= size - i; --j) {
white[u][i] += diff[j];
}
}
if (size >= K) white[u][K]++;
}

int main()
{
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d%d", &n, &K);
for (int i = 1; i <= n; ++i) { vec[i].clear(); }
memset(black, 0, sizeof(black));
memset(white, 0, sizeof(white));

getchar();
for (int i = 1, j; i <= n; ++i) {
while (1) {
scanf("%d", &j);
if (j == 0) break;
vec[i].push_back(j);
if (getchar() == '\n') break;
}
}
dfs_son(1, 0);
printf("%d\n", max(black[1], white[1][K]));
}
return 0;
}