策梅洛定理 (博弈论): Zermelo's theorem
2016-08-16 20:36
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很有意思的一个定理。
转载地址为http://blog.sina.com.cn/s/blog_4b91d3b501010hcj.html
策梅洛定理(英语:Zermelo's
theorem)是博弈论的一条定理,以恩斯特·策梅洛命名。定理表示在二人的有限游戏中,如果双方皆拥有完全的资讯,并且运气因素并不牵涉在游戏中,那先行或后行者当中必有一方有必胜/必不败的策略。若应用至国际象棋,则策梅洛定理表示"要么黑方有必胜之策略、要么白方有必胜之策略、要么双方有必不败之策略"。
策梅洛的论文于1913年以德文发表,并被Ulrich Schwalbe和Paul Walker于1997年译为英文。
定理具体内容:
在一个双人游戏中,满足:
0. 双人轮流行动
1. 有限步。比如国际象棋好像重复出现三次相同的棋局判和
2. 信息完备。所谓信息完备,大概是玩家明确知道所有之前的步骤。
3. 仅有3种结局,对于玩家1只有:赢,和,输三种结局
当满足上述条件的游戏,只会出现下面情况之一:
1. 玩家1有必胜招。就是玩家1按照某种特定的走法,不论玩家2如何努力,玩家1都可以赢
2. 玩家1有必和招。
3. 玩家2有必胜招。
当然,有些游戏是有后手优势的,先走的人倒霉。
证明方式就是传说中被很多人认为stupid的数学归纳法(Induction)。
Zermelo's theorem的证明大意:
N是某一游戏的最大步长,比如我们下棋,玩很多很多次,其中最多回合的一次,是大战300回合后我赢了,那么N=600。对N进行数学归纳法,
数学归纳法第一步:
N=1时,Zermelo's theorem显然成立。
玩家1,只用走一步,就可决定输赢。按照游戏的规定,也许有胜负和三种,那么玩家1显然选择胜的走法,于是满足玩家1有必胜招
数学归纳法第二步:
假设i<=N时命题成立,试图证明i=N+1时命题成立
考虑N+1时的子游戏,除去玩家1走的第一步以后的游戏部分。玩家1第一步的每一种走法都会产生一个新游戏起始状态,它的最大步长<=N的,从数学归纳法第二步可知,每个子游戏有唯一确定的结果,玩家1必然会赢、输或者和。于是等价于N=1的情况了!相当于玩家1在第一步的时候来选择进入哪个游戏,是自己必赢还是必输还是必和。
数学归纳法第三步:
总结:该结论对于所有的正整数都成立。
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策梅洛定理(英语:Zermelo's
theorem)是博弈论的一条定理,以恩斯特·策梅洛命名。定理表示在二人的有限游戏中,如果双方皆拥有完全的资讯,并且运气因素并不牵涉在游戏中,那先行或后行者当中必有一方有必胜/必不败的策略。若应用至国际象棋,则策梅洛定理表示"要么黑方有必胜之策略、要么白方有必胜之策略、要么双方有必不败之策略"。
策梅洛的论文于1913年以德文发表,并被Ulrich Schwalbe和Paul Walker于1997年译为英文。
定理具体内容:
在一个双人游戏中,满足:
0. 双人轮流行动
1. 有限步。比如国际象棋好像重复出现三次相同的棋局判和
2. 信息完备。所谓信息完备,大概是玩家明确知道所有之前的步骤。
3. 仅有3种结局,对于玩家1只有:赢,和,输三种结局
当满足上述条件的游戏,只会出现下面情况之一:
1. 玩家1有必胜招。就是玩家1按照某种特定的走法,不论玩家2如何努力,玩家1都可以赢
2. 玩家1有必和招。
3. 玩家2有必胜招。
当然,有些游戏是有后手优势的,先走的人倒霉。
证明方式就是传说中被很多人认为stupid的数学归纳法(Induction)。
Zermelo's theorem的证明大意:
N是某一游戏的最大步长,比如我们下棋,玩很多很多次,其中最多回合的一次,是大战300回合后我赢了,那么N=600。对N进行数学归纳法,
数学归纳法第一步:
N=1时,Zermelo's theorem显然成立。
玩家1,只用走一步,就可决定输赢。按照游戏的规定,也许有胜负和三种,那么玩家1显然选择胜的走法,于是满足玩家1有必胜招
数学归纳法第二步:
假设i<=N时命题成立,试图证明i=N+1时命题成立
考虑N+1时的子游戏,除去玩家1走的第一步以后的游戏部分。玩家1第一步的每一种走法都会产生一个新游戏起始状态,它的最大步长<=N的,从数学归纳法第二步可知,每个子游戏有唯一确定的结果,玩家1必然会赢、输或者和。于是等价于N=1的情况了!相当于玩家1在第一步的时候来选择进入哪个游戏,是自己必赢还是必输还是必和。
数学归纳法第三步:
总结:该结论对于所有的正整数都成立。
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