LIS、LCS 的o(n^2) 和 o(nlogn)算法小结
2016-08-16 18:48
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LIS(N^2)LIS(N logN)
LCS(N^2)
LCS(N logN)
因为学习LCS和LIS已经有一段时间了,当时的代码和文件都丢的差不多了,下面的模板和代码都是全新手打,难免有一些小错误。有时间再改进吧。
LIS —— O(N^2)算法,简单的取每个数和前面的数进行比对,例如加入6,和前面逐一比较,并取前面小于 6 的数的下标最大值,它的下标就代表了序列到6为止LIS的长度。 3 2 4 1 5 6 2 1 step 1: 1 step 2: 1 1 step 3: 1 1 2 step 4: 1 1 2 1 step 5: 1 1 2 1 3 step 6: 1 1 2 1 3 4 step 7: 1 1 2 1 3 4 2 step 8: 1 1 2 1 3 4 2 1 代码: ———————————————————————————————————————————————————————— for( int i=1; i<=n; i++ ) { dp[i] = 1; for( int j=1; j<=n; j++ ) { if( ap[i] < ap[j] && dp[i] < dp[j]+1 ) dp[i] = dp[j]+1; } } ———————————————————————————————————————————————————————— LIS —— O(NlogN)算法:(用dp数组模拟栈)。 逐一把序列的元素加入dp数组,如果比前一个(栈顶)元素大,就直接加入(变成栈顶元素),如果比前一个(栈顶)元素小,就在dp数组中二分取【大于自身的最小元素并替换】,最后栈的长度,即为LIS的长度。但是栈内元素并不是LIS。 3 2 4 1 5 6 2 1 step 1: 3 step 2: 2 step 3: 2 4 step 4: 1 4 step 5: 1 4 5 step 6: 1 4 5 6 step 7: 1 2 5 6 step 8: 1 1 5 6 最后用 统计栈内元素个数,即为LIS的长度。 代码: ———————————————————————————————————————————————————————— int top = 0; for( int i=1; i<=n; i++ ) { if( ap[i] > dp[top] ){ // 如果大于 "模拟栈" 的栈顶元素直接 入栈 长度加 1 top++; dp[top] = ap[i]; continue; } int m = ap[i]; // lower_bound 前闭后开 返回不小于 m 的最小值的位置 pos = lower_bound(dp,dp+top,m)-dp; // 注意减去dp if( dp[pos] > ap[i]) dp[pos] = ap[i]; } ———————————————————————————————————————————————————————— LCS —— O(N^2)算法 此处引用一下: 1.如果xm = yn,那么zk = xm = yn而且Z(k-1)是X(m-1)和Y(n-1)的一个LCS; 2.如果xm != yn,那么zk != xm蕴含Z是X(m-1)和Y的一个LCS; 3.如果xm != yn,那么zk != yn蕴含Z是X和Y(n-1)的一个LCS。 注:上面的Z(k-1)表示序列Z<z1,z2...zn>,其中n=k-1。其它的X()和Y()也是一样的。 代码: ———————————————————————————————————————————————————— scanf("%s%s",ac,bc); l1 = strlen(ac); l2 = strlen(bc); for( int i=1; i<=l1; i++ ) for( int j=1; j<=l2; j++ ) { if( ac[i-1] == bc[j-1] ){ dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1; }else{ dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); } ———————————————————————————————————————————————————— LCS —— O(NlogN)算法 总的来说,就是把LCS转化成LIS,然后用LIS的NlogN算法来求解。 实现如下:(引用) 假设有两个序列 s1[ 1~6 ] = { a, b, c , a, d, c }, s2[ 1~7 ] = { c, a, b, e, d, a, b }。 记录s1中每个元素在s2中出现的位置, 再将位置按降序排列, 则上面的例子可表示为: loc( a)= { 6, 2 }, loc( b ) = { 7, 3 }, loc( c ) = { 1 }, loc( d ) = { 5 }。 将s1中每个元素的位置按s1中元素的顺序排列成一个序列s3 = { 6, 2, 7, 3, 1, 6, 2, 5, 1 }。 在对s3求LIS得到的值即为求LCS的答案。
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