LightOj 1370欧拉函数快速筛法

欧拉函数

首先介绍下什么是欧拉函数吧，欧拉函数phi(x)代表小于等于x的数中和x互质的数的个数(小于显然只对1成立)， 比如说小于等于9的数中与9互质的有1,2,4,5,7,8,则phi(9)=6.求phi(x)得公式由欧拉给出(神一般的男人，几何学，数论，统计学，物理学，统计学，据说连金融学都有以欧拉命名的公式，膜拜…….)

欧拉指出，以phi(x)表示小于等于x的数中与x互质的数的个数可以这样得到：

phi(x) = x * (1 - 1/p1) * (1-1/p2) * (1 - 1 / p3)…..*(1 - 1/pn)

其中p1,p2,p3….pn是x的所有质因数，每个质因数只使用一次，使用上述公式，则phi(9)=9*(1-1/3)=6.

如果只是单纯求解某一个数的欧拉值，这是很简单的，对这个数分解质因数求解即可，如果x不是很大，甚至你直接用gcd来求也行，但是，如果我们要求解1-100万的所有数的欧拉函数值，上述的做法便太耗时间了，做法并不难，效仿素数筛法，我们有对应欧拉筛法.

欧拉筛法的原理如下，我们观察phi(x)的求解式子，首先另phi(x)=x,然后仿照素数筛法，如果x能被2,3,5,7….这些素数筛到，则执行phi(x)=phi(x)*(1-1/prime)

代码如下，一看就明白

//欧拉筛法,快速筛出1-100万的欧拉函数值
const int maxn = 1000000;
int phi[maxn+1];
bool isPrime[maxn+1];
void Eular()
{
for(int i=1;i<=maxn;i++) phi[i]=i;
memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
isPrime[0]=isPrime[1]=false;
phi[1]=0;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(isPrime[i])
{
for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
{
isPrime[j]=false;
phi[j] -= phi[j]/i;
}
}
}
}

好吧，我也是今天才学会这个筛法，素数筛法还有一种更快的接近O(n)的筛法，叫做线性素数筛法，对应的，欧拉函数筛法也有一个线性的，有兴趣自己google吧.

今天写的一道用上此知识点的题目：

LightOj 1370

题目链接

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1100000;
int phi[maxn+1];
bool isPrime[maxn+1];
int mp[maxn+1];

//欧拉筛法,快速筛出1-100万的欧拉函数值
void Eular()
{
for(int i=1;i<=maxn;i++) phi[i]=i;
memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
isPrime[0]=isPrime[1]=false;
phi[1]=0;
for(int i=2;i<=maxn;i++)
{
if(isPrime[i])
{
for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
{
isPrime[j]=false;
phi[j] -= phi[j]/i;
}
}
}
}
void getMap()
{
memset(mp,0,sizeof(mp));
for(int i=1;i<=maxn;i++) // the length of bamboo
{
for(int j=phi[i];j>=0 && mp[j]==0;j--)
mp[j]=i;
}
}

int main()
{
int T,cas=1;
scanf("%d" ,&T);
Eular();
getMap();
while(T--)
{
int n,x;
scanf("%d",&n);
long long sum=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d" ,&x); sum+=mp[x];
}
printf("Case %d: %lld Xukha\n",cas++,sum);
}
return 0;
}