关于Nim游戏的一点小想法

由于最近在做博弈的课件，做到nim游戏的时候突然就在想如果出一道交互题，用程序跟电脑玩游戏，保证开始时是必胜的，我们应该怎样操作？

基本目标

根据定义，设当前xor和为v，我们就是要找出一个石子堆的石子数ai使得ai>v xor ai（因为我们必须只能减少石子堆的石子数）然后将这堆石子的个数改为v xor ai（此时xor和就变成0了，对方就变成必败状态），直接暴力的话，我们每次就需要O(n)的时间

由SG定理的证明想到的结论

在证明SG定理中对于任意a∈N且a

为什么？

因为k位以上的我们不动它们，那么这些位就没有影响，然后由于k位变成了0，那么0~k-1位，无论我们怎么设置都是小于原来的数的，所以一定可以找到一个刚好使xor和变成0的数，当然了，任意一个k位上是1的是可以的。

具体做法

然后就变得很简单了，具体的做法就是，对于每一个二进制位开一个set，set里存放着这个二进制值为1的数的位置。

然后查询时就是找到v的二进制最高位k，我们在k的set里面随便找到一个数，在其他位的set里面删掉这个数，然后就计算要替换成什么数，接着就将这个数放进去应该放进去的set里面，时间复杂度O(log2n)