莫队算法讲解（含树上莫队）

莫队算法

莫队算法是一种离线算法，通常不能有修改 操作。

其通过对询问操作的执行顺序进行更改，然后使用最暴力的方法，可以达到很好的复杂度。

首先，如果要用莫队算法，则必须满足已知ans[l,r]可以得到ans[l+1,r],ans[l-1,r],ans[l,r+1],ans[l,r-1]。

莫队算法的实现步骤为：

1、先对原序列进行分块。

2、离线操作，对询问进行排序，以左端点所在块编号 为第一关键字，右端点的位置为第二关键字，进行排序。然后维护[l,r]的答案，并不断调整l和r。

我们来分析一下时间复杂度：

1、左端点所在块编号确定时，右端点位置单调不下降，所以右端点移动最多造成的时间复杂度是O(n)的，总共n√块，总时间复杂度为O(nn√)。

2、左端点所在块编号进行变动时，右端点移动最多造成的时间复杂度是O(n)，总共n√块，变动次数也就是n√次，总时间复杂度为O(nn√)。

3、块内左端点位置每次最多移动n√，一共m次询问，也就是一共移动m次，总时间复杂度为O(mn√)。

总的来说，时间复杂度是32次的，这是十分优秀的。

树上莫队

树上莫队是莫队算法的拓展，思想依然差不多，下面我介绍一种树上莫队的做法。

首先弄出树的括号序。（对树做一次深搜，第一次进入某节点时，将此节点编号加入序列，从某节点退出时，将此节点编号第二次加入序列）

如图，有一棵树，以及它的括号序：



然后记录一个数在括号序中第一次出现和最后一次出现的位置。

如果要询问j到k之间路径的信息，需进行分类讨论：

（以下均遵循此原则，出现两次的数字不算入所求信息中）

1、如果j是k的祖先，那么所求信息就为j和k最后出现的位置之间的信息。

2、如果j不是k的祖先。那么所求信息就为j最先出现的位置以及k最后出现的位置之间的信息，我们发现，j,k的lca不在其中，再把lca加上即可。

那么实现的时候就是用cha来表示一个点的出现情况的改变。

然后当做序列上的莫队来做就可以了。

拓展：带修改的莫队

其实莫队还是可以带修改的。O(∩_∩)O~~

带修改的莫队其实也不难，我们三元组（l,r,x）来排序，x表示在此次询问操作之前经过了x次修改操作。同样的，知道(l,r,x)的答案可以知道(l-1,r,x)(l+1,r,x)(l,r-1,x)(l,r+1,x)(l,r,x-1)(l,r,x+1)的答案，一样可以用莫队算法。

块大小需要设置为n23，总时间复杂度是O(n53)，证明略。