全排列的编码与解码

这是我在红黑联盟看到的一篇文章，讲得很好。

原文链接 这里写链接内容

一、康托展开：全排列到一个自然数的双射

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+…+ai*(i-1)!+…+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai < i(1<=i<=n)

适用范围：没有重复元素的全排列

二、全排列的编码：

{1,2,3,4,…,n}的排列总共有n!种，将它们从小到大排序，怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个？

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。

这样考虑：第一位是3，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位，小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于32

的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。（注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1）

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个，0*3!，第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2，1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884，因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.

解释：

排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，因此第一项为2*8!

排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，因此第二项为3*7!

以此类推，直至0*0!

#include<cstdio>
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘

int KT(int s[], int n)
{
int i, j, cnt, sum;
sum = 0;
for (i = 0; i < n; ++i)
{
cnt = 0;
for (j = i + 1; j < n; ++j)
if (s[j] < s[i]) ++cnt;
sum += cnt * fac[n - i - 1];
}
return sum;
}

int main()
{
int a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8};
printf("%d\n", 1 + KT(a, sizeof(a) / sizeof(*a))); ///1+98884
}

这里的阶乘数组也可以自动生成，代码如下

void init()//把1~8的阶乘打表
{
fact[0]=1;
for(int i=1;i<9;++i)
fact[i]=i*fact[i-1];
}

三、全排列的解码

如何找出第16个（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？

首先用16-1得到15

用15去除4! 得到0余15

用15去除3! 得到2余3

用3去除2! 得到1余1

用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1，所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以排列为1 4 3 5 2

#include<cstdio>
#include<cstring>
const int fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///阶乘

bool vis[10];

///n为ans大小，k为全排列的编码
void invKT(int ans[], int n, int k)
{
int i, j, t;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
--k;
for (i = 0; i < n; ++i)
{
t = k / fac[n - i - 1];
for (j = 1; j <= n; j++)
if (!vis[j])
{
if (t == 0) break;
--t;
}
ans[i] = j, vis[j] = true;
k %= fac[n - i - 1];///余数
}
}

int main()
{
int a[10];
invKT(a, 5, 16);
for (int i = 0; i < 5; ++i)
printf("%d ", a[i]);///1 4 3 5 2
}

如有不当之处欢迎指出！