bzoj1855(单调队列优化dp讲解)
2016-08-13 15:54
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这个,感觉思路不是特别清楚。
单调队列维护dp,一般就是把一个N维的dp优化成一个N-1维的dp
式子形如:dp【i】=max(f【j】)+g【i】(这里的g【i】是与j无关的量),且j的取值是一段连续区间,并随着i增大而增大的区间
这里的f【j】是和j有关的项,一般包括dp【j】和与其相关的项。
我们知道dp的复杂度是 (状态数*转移的复杂度),而单调队列优化的是转移的复杂度。也就是说状态数可以是一维二维(n位也可以)的。实际上运用单调队列时要在基本的转移方程变一变形,转化成上面所说的式子。
这道题:
思路:设f[i][j]表示到第i天手里持有j的股票的最大收益,那么第i天有三种操作:
对于买入,我们对其变形:
那么可以用单调队列维护f[i-w-1][k]+ap[i]*k(因为对于固定的i,ap[i]是固定的),这样f[i][j]就能做到O(1)计算,而不必枚举k。卖出也一样。
实现还是有很多细节需要注意
单调队列维护dp,一般就是把一个N维的dp优化成一个N-1维的dp
式子形如:dp【i】=max(f【j】)+g【i】(这里的g【i】是与j无关的量),且j的取值是一段连续区间,并随着i增大而增大的区间
这里的f【j】是和j有关的项,一般包括dp【j】和与其相关的项。
我们知道dp的复杂度是 (状态数*转移的复杂度),而单调队列优化的是转移的复杂度。也就是说状态数可以是一维二维(n位也可以)的。实际上运用单调队列时要在基本的转移方程变一变形,转化成上面所说的式子。
这道题:
思路:设f[i][j]表示到第i天手里持有j的股票的最大收益,那么第i天有三种操作:
对于买入,我们对其变形:
那么可以用单调队列维护f[i-w-1][k]+ap[i]*k(因为对于固定的i,ap[i]是固定的),这样f[i][j]就能做到O(1)计算,而不必枚举k。卖出也一样。
实现还是有很多细节需要注意
#include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstdlib> using namespace std; const int inf=0x3f3f3f3f; int t,maxp,w; int ap[2050],bp[2050],as[2050],bs[2050]; int f[2050][2050],q[2050],id[2050],head,tail; int main() { scanf("%d%d%d",&t,&maxp,&w); for (int i=1;i<=t;i++) scanf("%d%d%d%d",&ap[i],&bp[i],&as[i],&bs[i]); f[0][0]=0; for (int i=1;i<=maxp;i++) f[0][i]=-inf;//第0天选k个(k>0)是不合法的不能被选,置为-inf,因为求最大所以不会被选 for (int i=1;i<=t;i++) { memset(q,0,sizeof(q)); memset(id,0,sizeof(id)); head=1;tail=0; id[1]=0; for (int j=0;j<=maxp;j++)//买入 { f[i][j]=f[i-1][j]; if (i<=w)//如果i<=w,就是,如果这里进行交易,之前就不可能进行交易,并且这里也只能出现买股票的情况 { if (j<=as[i]) f[i][j]=max(f[i][j],-j*ap[i]);//还要控制买的数量 continue; } while (head<=tail && id[head]<j-as[i]) head++;//因为,所买的最多只能有as【i】,且同一i,as【i】不变,那么计算第i天的j个状态时,就是一个滑动的窗口向右扫,且要找到最大值,所以要用单调队列来维护啦 if (head<=tail) f[i][j]=max(f[i][j],q[head]-j*ap[i]); while (head<=tail && q[tail]<f[i-w-1][j]+j*ap[i]) tail--; q[++tail]=f[i-w-1][j]+j*ap[i]; id[tail]=j; } /*******************************************************/ memset(q,0,sizeof(q)); memset(id,0,sizeof(id)); head=1;tail=0; id[1]=0; if (i>w) for (int j=maxp;j>=0;j--)//卖出 { while (head<=tail && id[head]>j+bs[i]) head++; if (head<=tail) f[i][j]=max(f[i][j],q[head]-j*bp[i]); while (head<=tail && q[tail]<f[i-w-1][j]+j*bp[i]) tail--; q[++tail]=f[i-w-1][j]+j*bp[i]; id[tail]=j; } } int ans=0; for (int i=0;i<=maxp;i++) ans=max(ans,f[t][i]); printf("%d",ans); return 0; }
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