【NOIP2012模拟11.8】斐波那契

Description

小明有一个数列。

a[0] = a[1] = 1。

a[i] = i * a[i - 1] * a[i - 2]（i≥2）。

小明想知道a
的因子个数。

Input

输入仅一个正整数n。

Output

输出a
的因子个数mod 1,000,000,007的值。

Sample Input

3

Sample Output

4

Data Constraint

Hint

【数据范围】

对于30%的数据满足0≤n≤1,000。

对于100%的数据满足0≤n≤1,000,000。

THE Solution

设f[I]为斐波那契数列的第i项(f[1]=f[2]=1,f[I]=f[I-1]+f[I-2]) 先观察前几项

A[0]=1A[1]=1

A[2]=2∗1∗1=2

A[3]=3∗2∗1=3∗2

A[4]=4∗(3∗2)∗2=4∗3∗22

A[5]=5∗(4∗3∗22)∗(3∗2)=5∗4∗32∗23

注意观察每个因数的指数

可以得知对于每个num(num<=n)，num中的各个质因数在a
中一定存在，且个数为f[n-i+1]倍。

因此将1至n分解质因数，将各个质因数个数乘以f[n-i+1]再求和，

再用公式即可算出a
的因子个数。

分解质因数时利用类似筛法的方法可以极大地提高效率。

线性筛法

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define mo 1000000007
#define N 1000005
#define fo(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for (int i=a;i>=b;i--)

using namespace std;

int a
,FIB
,n;
bool bz
;
long long Ans=1;

int main()
{
scanf("%d",&n);
FIB[1] = 1;
FIB[2] = 1;
fo(i,3,n) FIB[i] = (FIB[i - 1] + FIB[i - 2]) % mo;
fo(i,2,n)
{
if (bz[i]) continue;
a[i] =FIB [n - i + 1];
int j = i + i;
while (j <= n)
{
bz[j] = true;
int now = j;
for (;now % i == 0;a[i] = (a[i] + FIB[n - j + 1])%mo) now/=i;
j+=i;
}
}
fo(i,2,n) Ans = (Ans * (a[i] + 1)) % mo;
printf("%lld", Ans );
return 0;
}
/*
A[0]=1 A[1]=1
A[2]=2*1*1=2
A[3]=3*2*1=3*2
A[4]=4*(3*2)*2=4*3*2^2
A[5]=5*(4*3*2^2)*(3*2)=5*4*3^2*2^3
*/