后缀树与后缀数组

后缀树和后缀数组是字符串处理的两大神器，几乎可处理掉一切的字符串处理问题，但是在实际中，后缀数组比后缀树更好写、好调，同时时间上也不差（常数很小），所以后缀数组绝对是OI竞赛之必备神器。

后缀树，实际上就是一棵字典树。考虑将某个串S的所有后缀插到一棵Trie里，那么我们就得到了一棵后缀树。在这里，我们不会讲后缀树的构造，只会略微讲一点其的思想。

在后缀树而言，匹配就变成一件易事了。考虑一个字符串匹配问题，如果我们要在一个串A中找很多个字符串B=b0,b1,b2…，那么也只需建好A的后缀树，然后直接放就好了……

另外，还有许多扩展应用，但在这里我就不细讲了。下面来讲后缀数组。

同样将一个字符串S的所有后缀，按照字典序排序，那么我们就得到了后缀数组。也就是说，后缀数组的第i个正是字典序第i大的后缀的编号。

好的，那么怎么构造呢？一种方法是从排序入手，由于字符串的比较是Θ(n)的，所以说再乘上排序的比较次数（如使用快排）nlog2n，那么总的时间复杂度就是O(n2log2n)。

但是，后缀有一些特殊的性质，可以帮我们优化排序。

我们要用的方法，是倍增算法，如果，我们每一次比较的时候，并不比较整个后缀，而是每次只比较一部分。

首先，我们将每个后缀的第一个字符排序，做出第一轮的sa（也就是Suffix Array，后缀数组），然后排第二轮，这次排两个字符，相当于是给二元组排序。

然后，我们开始排四个字符，注意到，由于4=2+2，所以实际上……我们如果利用上一轮的排名，比如我们搞出另一个rank，使rank(i)为第i个后缀的排名（可能重叠），然后，假设我们现在要排后缀j的前四个字符，那么我们将这四个字符拆开，我们就可以得到前面的两个字符和后面的两个字符。前面的两个字符的排名正好是rank(j)，而后面的两个字符，则是后缀j+2的前两个字符，其的排名是rank(j+2)。另外，我们来顺便证明一个定理：将若干个长度相同（设都为k）的字符串中的一个（设为e）分成两段，长度分别为l和|e|−l，那么如果我们已知字符串e在所有字符串的前l的字符构成的串中的排名和剩下来|e|−l个字符构成的串中的排名r1和r2，那么整一个字符串的排名等价于二元组(r1,r2)的排名。证明很容易，我们只需要注意到两个二元组(a,b)和(c,d)的比较规则是当a≠c时比较a和c，而当a=c时比较b和d，那么我们就能够看出，由于我们已经有了前面一段的排名，那么我们只需要比较排名，排名哪一个更前，哪一个的字典序就相应的越高；如果其前半段的排名相等，即字典序相等，那么其前半段是完全一样的，我们就可以忽略前半段，比较后半段的排名。仔细一想，我们就可以发现，上面给出的二元组的比较过程，和字典序的比较过程，是完全一样的！只不过，我们“已经比较”过某些东西了，所以不用再直接地比较两两间的字典序了。

利用倍增算法和快速排序的结合，我们可以在log2n×Θ(nlog2n)=Θ(nlog22n)的时间内解决这个问题，代码也很短，五六行左右就好了。如果没有时间写其他的话，可以直接用sort()和倍增算法相对暴力地解决。

但是，我们有更高效的算法。基数排序！！！

在这里，我们可以先按照上一轮的结果将第二个关键字排成一个序（相同的不管它），然后按照这个顺序，桶排。注意，插入的顺序应当和我们预先排的顺序一样。也就是说，大概是下面这样：

for (int i=0;i<n;++i){
insert(num1[i],i);
}

然后我们再将放进去的二元组再按照桶的大小顺序取出来，放好顺序，基数排序就完成了。

但是，光有构造远远不够，这样我们只能拥有两个数组（而且本质上相同）rank和sa。我们还需要一个特殊的工具，这个工具叫做最长公共前缀。

两个字符串S1和S2的最长公共前缀Lcp(S1,S2)的定义为Lcp(S1,S2)=maxi=1min{|S1|,|S2|}{S1i|S1i=S2i}

那么，我们可以很容易地发现，其实某两个后缀的最长公共前缀Lcp(Ssai,Ssaj)的值，实际上是mink=min{sai,saj}max{sai,saj}−1Lcp(Sk,Sk+1)。证明很容易，首先显然地，mink=min{sai,saj}max{sai,saj}−1Lcp(Sk,Sk+1)≤Lcp(Ssai,Ssaj)（相当于若干个公共前缀的公共部分，可能可以再长），另外若设p=mink=min{sai,saj}max{sai,saj}−1Lcp(Sk,Sk+1)，q=Lcp(Ssai,Ssaj)，而q>p，那么可以推出矛盾，这里不证（篇幅太长了，公式太大了……）

好吧，总之这个被证出来了，那么我们怎样快速地求出Lcp(Ssai,Ssai+1)呢？容易证明，Lcp(Ssai,Ssai+1)≥Lcp(Ssai,Ssai−1)−1

那么我们就可以不断地用上一个的答案来求出一个下界，再暴力扩展，然后继续求出下一个答案了。最后再用RMQ一搞就好了。

后缀数组的应用相当多，而且实现相对简洁（可能吧），只要多想想，几乎没什么是搞不定的……

【P.S.】后缀数组还可以有各种扩展，比如后缀家族的各种数据结构：后缀树、后缀数组、后缀自动机、后缀仙人掌……所以，太多了……