矩阵变换：沿任意方向缩放、镜像、正交投影及切变及其推导

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镜像、正交投影和切变的推导都可根据缩放变形而来。在要缩放方向上去缩放因子k,如果|k|<1，物体"收缩"， |k|>1,物体“膨胀”；k=0,正交投影；k<0,镜像； 切变稍有不同。

1. 缩放

01. 沿坐标轴缩放

2D中有两个缩放因子Kx和Ky，p和q是原来的基向量，缩放因子单独影响基向量，得到p`和q`：





得到缩放矩阵：



3D中增加缩放因子Kz





02.沿任意方向缩放

设n为平行于缩放方向的单位向量，k为缩放因子，缩放沿着穿过原点的并平行于n的直线（2D中）或平面（3D中）进行。

先讨论2D中的推导过程。我们需要推导一个表达式，给定向量v，可以通过v,n和k来计算v`。将v和v`分解为平行和垂直于n的分向量





v||是v在n上的投影



v⊥垂直于n，不会受缩放影响



v`||受缩放因子影响



推导得到v`



通过表达式来推导基向量



通过基向量构建矩阵，得到以单位向量n为缩放方向，以k为缩放因子的缩放矩阵



同样的原理运用在3D中



是scale(缩放)的缩写S(n,k)表示缩放矩阵



2.正交投影

投影意味和降维操作，将所有的点拉平到要投影的直线或平面上，从原来的点到投影点的直线相互平行，这就是正交投影。透视投影是另一种投影。



01. 向坐标轴或平面上投影

通过将垂直方向上缩放因子设为0来实现，如将3D点投影到xy平面，则抛弃z分量，通过将z方向上的缩放因子设为0实现。

P是projection(投影)的缩写，2D中，Px表示向x轴投影，Py同理：



3D中，Pxy表示向xy平面投影，其余同理：



02. 向任意指向或平面投影

投影有垂直于直线或平面的向量n定义，通过使n方向上的缩放因为0就能导出任意方向的投影矩阵。P(n)表示向垂直于向量n的轴或平面投影矩阵，S(n,0)表示在n方向上的缩放因子为0的缩放矩阵.

2D：



3D:



3. 镜像

也叫做反射，与正交投影相似，正交投影将缩放值k设为0，而镜像则设为-1.



R是reflect(反射)的缩写。2D:



3D:



4.切变（Shearing）

切变是坐标系的变换，非均匀的拉伸。切变时候，角度变化，但是面积或体积不变。也可以理解为坐标轴间的角度变化，造成的扭曲。

如下图，这是x坐标根据y坐标的切变，机器人的y坐标没有变化，只有x坐标变化了，变化后的坐标x`可以理解为将y坐标乘以切变因子s与原坐标x的和：x` = x + sy。如果是3D则增加z坐标的切变因子t： x` = x + sy，y` = y + tz



2D中切变矩阵为：

x坐标根据y坐标的切变



y坐标根据x坐标的切变



x,y坐标被z坐标切变