【NOIP2013】火柴排队（逆序对）

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2

其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出格式

输入格式：

输入文件为 match.in。

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式：

输出文件为 match.out。

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

【输入输出样例 1】
4
2 3 1 4
3 2 1 4
【输入输出样例 2】
4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出样例#1：

【输入输出样例 1】
1
【输入输出样例 2】
2

说明

【输入输出样例说明1】

最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。

【输入输出样例说明2】

最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。

【数据范围】

对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；

对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；

对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；

对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint

思路：1、由排序不等式推出两组大小顺序对应一致取到最小值。

         2、由乱序邻位变换成顺序最少需要的次数是其逆序数。简单证明：要保证最小移动次数，即要保证移动过程中只能减小逆序数不能增加，移动相邻两位可能增加一个逆序数或减少一个逆序数，所以只处理逆序对不会增加。

代码

树状数组

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define mod 99999997
#define maxn 200005
using namespace std;
int n,a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn],s[maxn],f[maxn],p[maxn],ans=0;
int get(){
char c;while(!isdigit(c=getchar()));
int v=c-48;while(isdigit(c=getchar()))v=v*10+c-48;
return v;
}
int lowbit(int x){return (x&(-x));}
void add(int x){
while(x<=n){
++f[x];
x+=lowbit(x);
if(f[x]>mod)f[x]-=mod;
}
}
int getsum(int x){
int ret=0;
while(x){
ret=(ret+f[x])%mod;
x-=lowbit(x);
}
return ret;
}
void init(){
n=get();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=c[i]=get();
for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=d[i]=get();
sort(c+1,c+1+n);
sort(d+1,d+1+n);
for(int i=1;i<=n;++i){
a[i]=lower_bound(c+1,c+1+n,a[i])-c;
b[i]=lower_bound(d+1,d+1+n,b[i])-d;
p[b[i]]=i;
}
}
void solveit(){
for(int i=n;i>=1;--i){
ans=(ans+getsum(p[a[i]]))%mod;
add(p[a[i]]);
}
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
freopen("MatchNOIP2013.in","r",stdin);
freopen("MatchNOIP2013.out","w",stdout);
init();
solveit();
return 0;
}

归并排序法

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define maxn 200005
#define mod 99999997
using namespace std;
int n,a[maxn],b[maxn],c[maxn],d[maxn],p[maxn],s[maxn],ans=0,tmp[maxn];
int get(){
char c;while(!isdigit(c=getchar()));
int v=c-48;while(isdigit(c=getchar()))v=v*10+c-48;
return v;
}
void init(){
n=get();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=c[i]=get();
for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=d[i]=get();
sort(c+1,c+1+n);
sort(d+1,d+1+n);
for(int i=1;i<=n;++i){
a[i]=lower_bound(c+1,c+1+n,a[i])-c;
b[i]=lower_bound(d+1,d+1+n,b[i])-d;
p[b[i]]=i;
}
for(int i=1;i<=n;++i)s[i]=p[a[i]];
}
void merge(int l,int m,int r){
int i=l;
int j=m+1;
int k=l;
while(i<=m && j<=r){
if(s[i]>s[j]){
tmp[k++]=s[j++];
ans=(ans+m-i+1)%mod;
}
else{
tmp[k++]=s[i++];
}
}
while(i<=m)tmp[k++]=s[i++];
while(j<=r)tmp[k++]=s[j++];
for(int t=l;t<=r;++t)s[t]=tmp[t];
}
void solveit(int l,int r){
if(l<r){
int m=(l+r)>>1;
solveit(l,m);
solveit(m+1,r);
merge(l,m,r);
}
}
int main(){
freopen("MatchNOIP2013.in","r",stdin);
freopen("MatchNOIP2013.out","w",stdout);
init();
solveit(1,n);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}