数位DP学习 数位DP板子理解 CF55D解题报告

【题意】先理解一下数位DP的模板，下面解释的非常清楚了。

// pos = 当前处理的位置(一般从高位到低位)
// pre = 上一个位的数字(更高的那一位)
// status = 要达到的状态,如果为1则可以认为找到了答案,到时候用来返回,
// 　　 给计数器+1。
// limit = 是否受限,也即当前处理这位能否随便取值。如567,当前处理6这位,
// 　　 如果前面取的是4,则当前这位可以取0-9。如果前面取的5,那么当前
// 　　 这位就不能随便取，不然会超出这个数的范围,所以如果前面取5的
// 　　 话此时的limit=1,也就是说当前只可以取0-6。
//
// 用DP数组保存这三个状态是因为往后转移的时候会遇到很多重复的情况。
int dfs(int pos,int pre,int status,int limit)
{
//已结搜到尽头,返回"是否找到了答案"这个状态。
if(pos < 1)
return status;

//DP里保存的是完整的,也即不受限的答案,所以如果满足的话,可以直接返回。
if(!limit && DP[pos][pre][status] != -1)
return DP[pos][pre][status];

int end = limit ? DIG[pos] : 9;
int ret = 0;

//往下搜的状态表示的很巧妙,status用||是因为如果前面找到了答案那么后面
//还有没有答案都无所谓了。而limti用&&是因为只有前面受限、当前受限才能
//推出下一步也受限，比如567,如果是46X的情况,虽然6已经到尽头,但是后面的
//个位仍然可以随便取,因为百位没受限,所以如果个位要受限,那么前面必须是56。
//
//这里用"不要49"一题来做例子。
for(int i = 0;i <= end;i ++)
ret += dfs(pos - 1,i,status || (pre == 4 && i == 9),limit && (i == end));

//DP里保存完整的、取到尽头的数据
if(!limit)
DP[pos][pre][status] = ret;

return ret;
}

【CF 55D】
【题意】如果一个数能被自己各个位的数字整除，那么它就叫 Beautiful numbers。求区间 [a,b] 中 Beautiful numbers 的个数。

【解题方法】位数上的数字只需要考虑2-9，因此用一个数字1<<8来表示一下哪些数字出现过。如果一个数是所有位数的倍数，那么一定是其最小公倍数2520的倍数倍数，

所以求和的时候直接对2520进行取余，dp[l][cnt][sum]，l为数字长度，cnt为数位上有哪些数，sum为数字和。

DFS(int l,int cnt,int sum,bool jud)，jud是否为边界。

【AC 代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
int digit[20];
LL dp[20][(1<<8)][2520];
LL dfs(int l,int cnt,int sum,bool jud){
if(l==0){
for(int i=2; i<=9; i++){
if((cnt&(1<<(i-2)))&&(sum%i)){
return 0;
}
}
return 1;
}
if(!jud&&dp[l][cnt][sum]!=-1) return dp[l][cnt][sum];
int nes=jud?digit[l]:9;
LL pos=0;
for(int i=0; i<=nes; i++){
pos+=dfs(l-1,i<2?cnt:(cnt|(1<<(i-2))),((sum*10)+i)%2520,jud&&(i==digit[l]));
}
if(!jud) dp[l][cnt][sum]=pos;
return pos;
}
LL f(LL k){
LL ans;
int pos=0;
while(k){
digit[++pos]=k%10;
k=k/10;
}
ans=dfs(pos,0,0,true);
return ans;
}
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
memset(dp,-1,sizeof(dp));
while(T--){
LL m,n;
scanf("%I64d%I64d",&m,&n);
LL ans=f(n)-f(m-1);
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}